Question

假设您有一组 A = {1,2，...， m }和一组 B = {1 ，2，...， n }，这样 A 集合中的每个元素都必须分配给 B 中的某个元素> 的。来自集合 A 的每个元素 i 以及来自集合 B 的每个元素 j 的以下参数是已知的：

S _ij 是元素 i 分配给元素 j 大于或等于零的成本;
t _ij 是元素 i 对元素 j 的最小偏好，大于或等于零; < / LI>
T _ij 是元素 i 对元素 j 的最大偏好，大于或等于零。< / LI>

对于每个固定的 i ， t _ij 的所有值， T _ij （对于所有 j ）是不同的。 m 和 n 是大于0的整数，其他变量是非负实数。

根据 t _ij t _ij Ť<子> IJ 的）。例如，如果 t _ij ＆lt; t _ik （首选项 T _ij 或 T _ik 可以在任何情况下使用，进一步阅读），然后将元素 i 分配给 j ，而不是 k 。在 mn 首选项中，它们的 r 必须使用 T _ij 的值作为首选项值，剩下的 mn - r 必须使用 t _ij 的值（这是较低的值，然后 T _ij 的）。

如果将元素 i 分配给元素 j ，则成本 S _ij 将添加到分配给元素 j 的总成本，即 C _j = C _j + S _ij 。让 Max 成为所有费用中的最大值 C _j 和 Min 所有费用中的最小费用 C <子>Ĵ 的。目标是选择赋值元素 i 到元素 j 的哪些首选项将取 T _ij 的值，哪个首选项将采用 t _ij 的值，使得值为：

Max 很小;
Max - Min 是最小的。

我认为有一些动态编程算法，但我不确定。有人知道如何通过DP方法或其他方法解决这个问题吗？然而，它可能不是多项式的，但我认为它是。

示例。让 m = 3， n = 2，即 A = {1,2， 3}和 B = {1,2,3}。设 r = 2，矩阵 S ， t 和 T 为

    |5 9|      |1 3|      |10  7|
S = |7 1|, t = |4 2|, T = | 5  4|.
    |8 4|      |3 4|      | 9 12|

在最小化 Max 的值的情况下，解决方案等于5 。可以构建类似的示例以最小化 Max - Min 。

Answer 1

问题是NP难，可以通过减少Partition来表示。

假设我们有一个算法 M 可以最佳地解决您的问题。

我们获得了一个分区实例 X = { x ₁，x ₂，...，x _m }并希望将 S 的分区找到两个具有最小和差的子集。设定 n = 2，S _ij = x _i，t _ij = -j，T _ij = j 。现在我们只是迭代所有可能的 r 并调用 M 作为子例程来查找 Max 的全局最小值。我们可以证明导致最小 Max 的分配是 X 的最佳2分区。

由于您不是在处理整数成本，而是使用实际成本，因为 n＆gt;可能会使您的问题变得更加困难。 2 （我们也可以直接将 n 二进制文件缩小Bin packing到你的问题中），你的问题似乎不太可能存在假的多元化解决方案除非 P = NP 。您应该考虑使用启发式方法来获得良好的近似解。一个好的起点是查看Bin打包的近似方案，并尝试使它们适应您的问题。也许简单的首选方法足以满足您的需求。还有两件事你应该记住：

您可以二进制搜索 Max ，然后将其用作“bins”的固定上限
t _ij 和 T _ij 可以缩减为各自的argmins以获得固定的 i 。您有一组首选项 T _i，1 （从 t _ij 中提取）和另一组首选项每个 i T _i，2 （从 T _ij 中提取）。即使考虑非最小偏好，也没有意义。

有多项式算法吗？可能是动态编程方法？

1 个答案: