我正在阅读Christoffer Paares一书（“了解密码学”）中关于椭圆曲线加密的部分。我决定在python中实现椭圆曲线点加法和点加倍的函数。对于我的测试，我使用了本书中的示例，因此我可以测试我的结果。
示例中使用的曲线是：y ^ 2 = x ^ 3 + 2x + 2 mod 17
使用的发生器是：p =（5,1）
因此循环变为：
1p =（5,1）
2p =（6,3）
3p =（10,6）
4p =（3,1）
5p =（9,16）
6p =（16,13）
7p =（0,6）
8p =（13,7）
9p =（7,6）
10p =（7,1）
11p =（13,10）
12p =（0,11）
13p =（16,4）
14p =（9,1）
15p =（3,16）
16p =（10,11）
17p =（6,14）
18p =（5,16）
19p =中性元素（无限远点）
20p =（5,1）
...
我编写此代码是为了重现结果：
def add(a,p,P,Q):
#Check For Neutral Element
if P == (0,0) or Q == (0,0):
return (P[0]+Q[0],P[1]+Q[1])
#Check For Inverses (Return Neutral Element - Point At Infinity)
if P[0] == Q[0]:
if (-P[1])%p == Q[1] or (-Q[1])%p == P[1]:
return (0,0)
#Calculate Slope
if P != Q:
s = (Q[1]-P[1]) / (Q[0]-P[0])
else:
s = ((3*(P[0]*P[0])+a)%p) ** (2*P[1])
#Calculate Third Intersection
x = s*s - P[0] - Q[0]
y = (s*(P[0]-x)) - P[1]
y = y%p
x = x%p
return (x,y)
r = (5,1)
for i in range(1,20):
print i,':',r
r = add(2,17,r,(5,1))
然而输出是：
你可能会看到它跟随预期的结果直到6p，然后进入一个长度为2的循环。我一直盯着这几个小时，我仍然不知道为什么它不起作用（毕竟：它有多难......它是30行的python）。
答案 0 :(得分：3)
我并不是真正了解这个主题，但这里是指向实施ECC的存储库的链接：github
编辑：实际问题是除法模p。你不能只使用整数算术（15/4 == 3）进行除法，而是需要乘以4 modulo 17的 inverse 。 4模17的倒数是13，因为4 * 13％17 == 1.你的分数变为15 * 13，相当于说“15 * 1/4 modulo 17”。只需在斜率计算周围放置一些调试打印，您就会看到反转开始与简单整数除法不同。
def euclid(a, b):
'''Solve x*a + y*b = ggt(a, b) and return (x, y, ggt(a, b))'''
# Non-recursive approach hence suitable for large numbers
x = yy = 0
y = xx = 1
while b:
q = a // b
a, b = b, a % b
x, xx = xx - q * x, x
y, yy = yy - q * y, y
return xx, yy, a
def inv(a, n):
'''Perform inversion 1/a modulo n. a and n should be COPRIME.'''
# coprimality is not checked here in favour of performance
i = euclid(a, n)[0]
while i < 0:
i += n
return i
def add(a,p,P,Q):
#Check For Neutral Element
if P == (0,0) or Q == (0,0):
return (P[0]+Q[0],P[1]+Q[1])
#Check For Inverses (Return Neutral Element - Point At Infinity)
if P[0] == Q[0]:
if (-P[1])%p == Q[1] or (-Q[1])%p == P[1]:
return (0,0)
#Calculate Slope
if P != Q:
# perform multiplication with the inverse modulo p
s = (Q[1]-P[1]) * inv(Q[0]-P[0], p)
else:
s = ((3*(P[0]*P[0])+a)%p) ** (2*P[1])
#Calculate Third Intersection
x = s*s - P[0] - Q[0]
y = (s*(P[0]-x)) - P[1]
y = y%p
x = x%p
return (x,y)
r = (5,1)
for i in range(1,20):
print i,':',r
r = add(2,17,r,(5,1))
打印
1 : (5, 1)
2 : (6, 3)
3 : (10, 6)
4 : (3, 1)
5 : (9, 16)
6 : (16, 13)
7 : (0, 6)
8 : (13, 7)
9 : (7, 6)
10 : (7, 11)
11 : (13, 10)
12 : (0, 11)
13 : (16, 4)
14 : (9, 1)
15 : (3, 16)
16 : (10, 11)
17 : (6, 14)
18 : (5, 16)
19 : (0, 0)
这是指向pypi的链接。 随意使用或改进它。