Question

我需要学习如何设计DFA，以便给定任意数字'n'，它接受二进制字符串{0,1}，其十进制等效数可以被'n'整除。

不同的'n'会有不同的DFA，但是有人可以提供一个基本的方法，我应该遵循以继续任何数字0＆lt; n＆lt; 10。

Answer 1

我知道我已经很晚了，但我只想在@Grijesh提供的正确答案中添加一些内容。我想指出@Grijesh提供的答案不会产生最小的DFA。虽然答案肯定是获得DFA的正确方法，但如果你需要最小的DFA，你将需要调查你的除数。

例如，在二进制数中，如果除数是2的幂（即2 ^ n），则所需的最小状态数将是n + 1。你会如何设计这样的自动机？只需查看二进制数的属性即可。对于一个数字，比如说8（即2 ^ 3），它的所有倍数都将最后3位作为0.例如，二进制中的40是101000.因此，对于一种语言来接受任何可被8整除的数字，我们只需要一个看到最后3位为0的自动机，我们可以只用4个状态而不是8个状态。这只是机器复杂性的一半。

事实上，这可以扩展到任何基础。对于三元基数系统，如果我们需要设计一个自动机用于9的可除性，我们只需要看看输入的最后2个数是否为0.这可以在3个状态中再次完成。

虽然如果除数不是那么特殊，那么我们只需要通过@Grijesh的回答。例如，在二元系统中，如果我们采用3或7或21的除数，我们将只需要那么多个状态。因此，对于二进制系统中的任何奇数n，我们需要n个状态来定义接受n的所有倍数的语言。另一方面，如果数字是偶数但不是2的幂（仅在二进制数的情况下），那么我们需要将数字除以2直到我们得到一个奇数，然后我们可以找到最小数量的状态添加生成的奇数和我们除以2的次数。

例如，如果我们需要找到接受所有可被20整除的二进制数的DFA的最小状态数，我们会这样做：

20/2 = 10 
10/2 = 5

因此我们的答案是5 + 1 + 1 = 7。（1 + 1，因为我们将数字20除了两次）。

Answer 2

您可以使用简单的模块化算法构建DFA。我们可以使用以下规则将w解释为由k元数字组成的字符串

V[0] = 0
V[i] = (S[i-1] * k) + to_number(str[i])

V[|w|]是w代表的数字。如果修改此规则以找到w mod N，该规则将变成此规则。

V[0] = 0
V[i] = ((S[i-1] * k) + to_number(str[i])) mod N

，每个V[i]是从0到N-1的数字之一，它对应于DFA中的每个状态。我们可以将其用作状态转换。

查看示例。

k = 2，N = 5

| V | (V*2 + 0) mod 5     | (V*2 + 1) mod 5     |
+---+---------------------+---------------------+
| 0 | (0*2 + 0) mod 5 = 0 | (0*2 + 1) mod 5 = 1 |
| 1 | (1*2 + 0) mod 5 = 2 | (1*2 + 1) mod 5 = 3 |
| 2 | (2*2 + 0) mod 5 = 4 | (2*2 + 1) mod 5 = 0 |
| 3 | (3*2 + 0) mod 5 = 1 | (3*2 + 1) mod 5 = 2 |
| 4 | (4*2 + 0) mod 5 = 3 | (4*2 + 1) mod 5 = 4 |

k = 3，N = 5

| V | 0 | 1 | 2 |
+---+---+---+---+
| 0 | 0 | 1 | 2 |
| 1 | 3 | 4 | 0 |
| 2 | 1 | 2 | 3 |
| 3 | 4 | 0 | 1 |
| 4 | 2 | 3 | 4 |

现在您可以看到一个非常简单的模式。您实际上可以构建DFA转换，只需从左到右，从上到下，从0到N-1编写重复的数字即可。

设计DFA接受可被数字'n'整除的二进制字符串

2 个答案: