生成包含取自n个向量的所有元素组合的矩阵

Question

此问题经常以某种形式出现（请参阅例如here或here）。所以我认为我会以一般形式呈现它，并提供一个可能供将来参考的答案。

  

给定可能不同大小的任意数量n的矢量，生成一个n - 列矩阵，其行描述从这些矢量中取出的所有元素组合（笛卡儿积）。

例如，

vectors = { [1 2], [3 6 9], [10 20] }

应该给出

combs = [ 1     3    10
          1     3    20
          1     6    10
          1     6    20
          1     9    10
          1     9    20
          2     3    10
          2     3    20
          2     6    10
          2     6    20
          2     9    10
          2     9    20 ]

Answer 1

ndgrid函数几乎给出了答案，但有一点需要注意：必须明确定义n输出变量才能调用它。由于n是任意的，因此最好的方法是使用comma-separated list（从带有n个单元格的单元格数组生成）作为输出。然后，生成的n矩阵会连接到所需的n - 列矩阵中：

vectors = { [1 2], [3 6 9], [10 20] }; %// input data: cell array of vectors

n = numel(vectors); %// number of vectors
combs = cell(1,n); %// pre-define to generate comma-separated list
[combs{end:-1:1}] = ndgrid(vectors{end:-1:1}); %// the reverse order in these two
%// comma-separated lists is needed to produce the rows of the result matrix in
%// lexicographical order 
combs = cat(n+1, combs{:}); %// concat the n n-dim arrays along dimension n+1
combs = reshape(combs,[],n); %// reshape to obtain desired matrix

Answer 2

稍微简单一点......如果你有神经网络工具箱，你只需使用combvec：

vectors = {[1 2], [3 6 9], [10 20]};
combs = combvec(vectors{:}).' % Use cells as arguments

以稍微不同的顺序返回矩阵：

combs =

     1     3    10
     2     3    10
     1     6    10
     2     6    10
     1     9    10
     2     9    10
     1     3    20
     2     3    20
     1     6    20
     2     6    20
     1     9    20
     2     9    20

如果您想要问题中的矩阵，可以使用sortrows：

combs = sortrows(combvec(vectors{:}).')
% Or equivalently as per @LuisMendo in the comments: 
% combs = fliplr(combvec(vectors{end:-1:1}).') 

给出了

combs =

     1     3    10
     1     3    20
     1     6    10
     1     6    20
     1     9    10
     1     9    20
     2     3    10
     2     3    20
     2     6    10
     2     6    20
     2     9    10
     2     9    20

如果你看一下combvec的内部（在命令窗口中输入edit combvec），你会发现它使用的代码与@ LuisMendo的答案不同。我不能说哪个更有效率。

如果您碰巧有一个矩阵的行类似于您可以使用的早期单元格数组：

vectors = [1 2;3 6;10 20];
vectors = num2cell(vectors,2);
combs = sortrows(combvec(vectors{:}).')

Answer 3

我已对两个提议的解决方案进行了一些基准测试。基准测试代码基于timeit function，并包含在本文末尾。

我考虑两种情况：三个大小为n的向量，以及三个大小为n/10，n和n*10的向量（两种情况都给出了相同数量的组合）。 n最多变为240（我选择此值以避免在我的笔记本电脑中使用虚拟内存）。

结果如下图所示。基于ndgrid的解决方案始终比combvec花费的时间更少。值得注意的是，combvec所花费的时间在不同大小的情况下变化不大。

---

基准代码

基于ndgrid的解决方案的功能：

function combs = f1(vectors)
n = numel(vectors); %// number of vectors
combs = cell(1,n); %// pre-define to generate comma-separated list
[combs{end:-1:1}] = ndgrid(vectors{end:-1:1}); %// the reverse order in these two
%// comma-separated lists is needed to produce the rows of the result matrix in
%// lexicographical order
combs = cat(n+1, combs{:}); %// concat the n n-dim arrays along dimension n+1
combs = reshape(combs,[],n);

combvec解决方案的功能：

function combs = f2(vectors)
combs = combvec(vectors{:}).';

通过在这些函数上调用timeit来测量时间的脚本：

nn = 20:20:240;
t1 = [];
t2 = [];
for n = nn;
    %//vectors = {1:n, 1:n, 1:n};
    vectors = {1:n/10, 1:n, 1:n*10};
    t = timeit(@() f1(vectors));
    t1 = [t1; t];
    t = timeit(@() f2(vectors));
    t2 = [t2; t];
end

Answer 4

这是一种自己动手操作的方法，使用nchoosek让我高兴得玩笑，虽然它的不比更好于@Luis Mendo＆＃39;接受的解决方案。

对于给出的示例，在1,000次运行之后，此解决方案使我的机器平均为0.00065935 s，而接受的解决方案为0.00012877 s。对于较大的向量，遵循@Luis Mendo的基准测试帖子，此解决方案始终比接受的答案慢。尽管如此，我决定发布它，希望你能找到一些有用的东西：

<强>代码：

tic;
v = {[1 2], [3 6 9], [10 20]};

L = [0 cumsum(cellfun(@length,v))];
V = cell2mat(v);

J = nchoosek(1:L(end),length(v));
J(any(J>repmat(L(2:end),[size(J,1) 1]),2) | ...
  any(J<=repmat(L(1:end-1),[size(J,1) 1]),2),:)  = [];

V(J)
toc

给出

ans =

 1     3    10
 1     3    20
 1     6    10
 1     6    20
 1     9    10
 1     9    20
 2     3    10
 2     3    20
 2     6    10
 2     6    20
 2     9    10
 2     9    20

Elapsed time is 0.018434 seconds.

<强>解释

L使用cellfun获取每个向量的长度。虽然cellfun基本上是一个循环，但考虑到你的向量数量必须相对较低才能使这个问题变得非常实用。

V连接所有向量以便以后轻松访问（这假设您将所有向量输入为行.v＆＃39;适用于列向量。）

nchoosek获取从元素总数n=length(v)中挑选L(end)元素的所有方法。 此处的组合将超出我们的需求。

J =

 1     2     3
 1     2     4
 1     2     5
 1     2     6
 1     2     7
 1     3     4
 1     3     5
 1     3     6
 1     3     7
 1     4     5
 1     4     6
 1     4     7
 1     5     6
 1     5     7
 1     6     7
 2     3     4
 2     3     5
 2     3     6
 2     3     7
 2     4     5
 2     4     6
 2     4     7
 2     5     6
 2     5     7
 2     6     7
 3     4     5
 3     4     6
 3     4     7
 3     5     6
 3     5     7
 3     6     7
 4     5     6
 4     5     7
 4     6     7
 5     6     7

由于v(1)中只有两个元素，我们需要抛弃J(:,1)>2的所有行。同样，在J(:,2)<3，J(:,2)>5等处......使用L和repmat我们可以确定J的每个元素是否在适当的范围内，并且然后使用any来丢弃具有任何错误元素的行。

最后，这些不是v的实际值，只是索引。 V(J)将返回所需的矩阵。