Question

除非我弄错了，否则没有证明

∀ {A : Set} → ¬ (¬ A) → A

在阿格达。

这意味着您不能通过矛盾来使用证明。

许多数学教科书使用这些证明，所以我想知道：是否总能找到另一种建设性证据？您是否可以仅使用建设性逻辑来编写代数教科书？

如果答案是否定的。这是否意味着建构性逻辑在某种程度上不如经典逻辑那么强大？

Answer 1

事实上，在Agda中无法证明双重否定消除（以及逻辑上等同的其他陈述）。

-- Law of excluded middle
lem : ∀ {p} {P : Set p} → P ⊎ ¬ P

-- Double negation elimination
dne : ∀ {p} {P : Set p} → ¬ ¬ P → P

-- Peirce's law
peirce : ∀ {p q} {P : Set p} {Q : Set q} →
  ((P → Q) → P) → P

（如果你愿意，你可以证明这些确实在逻辑上相同，这是一个有趣的练习）。但这是我们无法避免的结果 - 建构逻辑的一个重要问题是证明具有计算环境。然而，假设排除中间的法律基本上杀死了任何计算环境。

例如考虑以下命题：

end-state? : Turing → Set
end-state? t = ...

simulate_for_steps : Turing → ℕ → Turing
simulate t for n steps = ...

Terminates : Turing → Set
Terminates machine = Σ ℕ λ n →
  end-state? (simulate machine for n steps)

因此，如果存在数字n，则图灵机终止，使得在n步之后，机器处于结束状态。听起来很合理吧？当我们在混合中添加排除的中间时会发生什么？

terminates? : Turing → Bool
terminates? t with lem {P = Terminates t}
... | inj₁ _ = true
... | inj₂ _ = false

如果我们排除了中间，那么任何命题都是可判定的。这也意味着我们可以决定图灵机是否终止，我们已经解决了暂停问题。所以我们可以有可计算性或经典逻辑，但不是两者都有！虽然排除的中间和其他等效语句可以帮助我们进行证明，但却以计算的计算意义为代价。

所以是的，从这个意义上讲，建设性逻辑不如经典逻辑强大。但是，我们可以通过双重否定翻译来模拟经典逻辑。请注意，以前原则的双重否定版本在Agda中存在：

¬¬dne : ∀ {p} {P : Set p} → ¬ ¬ (¬ ¬ P → P)
¬¬dne f = f λ g → ⊥-elim (g (f ∘ const))

¬¬lem : ∀ {p} {P : Set p} → ¬ ¬ (P ⊎ ¬ P)
¬¬lem f = f (inj₂ (f ∘ inj₁))

如果我们使用经典逻辑，那么您将使用双重否定消除来获取原始语句。甚至还有一个专门用于此转换的monad，请查看Relation.Nullary.Negation模块中的双重否定monad（在标准库中）。

这意味着我们可以有选择地使用经典逻辑。从某些角度来看，由于这一点，建设性逻辑比经典逻辑更为强大。在经典逻辑中，你不能选择退出这些陈述，它们就在那里。另一方面，建设性逻辑不会强迫您使用它们，但如果您需要它们，您可以通过这种方式“启用”它们。

另一个在Agda中无法证明的陈述是功能扩展性。但与经典陈述不同，这一陈述在建设性逻辑中是可取的。

ext : ∀ {a b} {A : Set a} {B : A → Set b}
  (f g : ∀ x → B x) → (∀ x → f x ≡ g x) → f ≡ g

然而，这并不意味着它不具有建设性逻辑。它只是Agda所依据的理论的一个属性（主要是带有公理K的强度型理论），还有其他类型理论的含义，例如拉伸型理论的常用公式或Conor McBride's和Thorsten Altenkirch的观察类型理论。

是否存在可以在经典逻辑中证明但在Agda中不能证明的命题

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