Question

在简单类型的lambda演算的类型检查器中间，我有这个：

check Γ (lam τ′ E) (τ₁ ↣ τ₂) with τ′ T≟ τ₁
check Γ (lam τ′ E) (τ₁ ↣ τ₂) | no ¬p = no lem
  where
  lem : ¬ Γ ⊢ lam τ′ E ∷ (τ₁ ↣ τ₂)
  lem t = {!!}

洞的类型当然是⊥。我希望通过t上的模式匹配，我可以充分了解这种类型的推导，以证明它是荒谬的。但是，如果我对t进行案例分析，我会得到：

lem : ¬ Γ ⊢ lam τ′ E ∷ (τ₁ ↣ τ₂)
lem (tLam t) = ?

τ′ != τ₁ of type Type
when checking that the pattern tLam t has type
Γ ⊢ lam τ′ E ∷ (τ₁ ↣ τ₂)

是的，这一点非常重要的是要证明没有什么可以代替t而写，因为τ不匹配......但我怎么告诉Agda ？

作为参考，这里是完整的（简化但完整的）模块：

open import Data.Nat
open import Data.Fin
open import Data.Vec
open import Function using (_∘_)

data Type : Set where
  _↣_ : Type → Type → Type

infixr 20 _↣_

open import Relation.Nullary
open import Relation.Binary.PropositionalEquality

arr-injˡ : ∀ {τ τ′ τ₂ τ₂′} → τ ↣ τ₂ ≡ τ′ ↣ τ₂′ → τ ≡ τ′
arr-injˡ refl = refl

arr-injʳ : ∀ {τ τ′ τ″} → τ ↣ τ′ ≡ τ ↣ τ″ → τ′ ≡ τ″
arr-injʳ refl = refl

_T≟_ : (τ τ′ : Type) → Dec (τ ≡ τ′)
(τ₁ ↣ τ₂) T≟ (τ₁′ ↣ τ₂′) with τ₁ T≟ τ₁′
(τ₁ ↣ τ₂) T≟ (τ₁′ ↣ τ₂′) | no ¬p = no (¬p ∘ arr-injˡ)
(τ₁ ↣ τ₂) T≟ (.τ₁ ↣ τ₂′) | yes refl with τ₂ T≟ τ₂′
(τ₁ ↣ τ₂) T≟ (.τ₁ ↣ .τ₂) | yes refl | yes refl = yes refl
(τ₁ ↣ τ₂) T≟ (.τ₁ ↣ τ₂′) | yes refl | no ¬p = no (¬p ∘ arr-injʳ)

data Expr (n : ℕ) : Set where
  lam : (τ : Type) → Expr (suc n) → Expr n

Ctxt : ℕ → Set
Ctxt = Vec Type

data _⊢_∷_ : ∀ {n} → Ctxt n → Expr n → Type → Set where
  tLam : ∀ {n} {Γ : Ctxt n} {τ E τ′} → ((τ ∷ Γ) ⊢ E ∷ τ′) → (Γ ⊢ lam τ E ∷ τ ↣ τ′)

⊢-inj : ∀ {n Γ} {E : Expr n} → ∀ {τ τ′} → Γ ⊢ E ∷ τ → Γ ⊢ E ∷ τ′ → τ ≡ τ′
⊢-inj {E = lam τ E} (tLam t) (tLam t′) = cong (_↣_ τ) (⊢-inj t t′)

module Infer where
  check : ∀ {n} Γ → (E : Expr n) → ∀ τ → Dec (Γ ⊢ E ∷ τ)
  check Γ (lam τ′ E) (τ₁ ↣ τ₂) with τ′ T≟ τ₁
  check Γ (lam τ′ E) (.τ′ ↣ τ₂) | yes refl with check (τ′ ∷ Γ) E τ₂
  check Γ (lam τ′ E) (.τ′ ↣ τ₂) | yes refl | yes E∷τ₂ = yes (tLam E∷τ₂)
  check Γ (lam τ′ E) (.τ′ ↣ τ₂) | yes refl | no ¬t = no lem
    where
    lem : ¬ Γ ⊢ lam τ′ E ∷ (τ′ ↣ τ₂)
    lem (tLam t) = ¬t t
  check Γ (lam τ′ E) (τ₁ ↣ τ₂) | no ¬p = no lem
    where
    lem : ¬ Γ ⊢ lam τ′ E ∷ (τ₁ ↣ τ₂)
    lem (tLam t) = ?

Answer 1

好吧，我不确定这是否是最好的解决方案，但是当遇到这样的问题时，你通常会查看上下文，看看你可以在哪里获得⊥并尝试证明一个导致的属性它。

特别是，您无法在t上进行模式匹配，因为正如您所说，τ′ ≠ τ₁（这是您的假设之一）。但是看一下tLam的定义，应该可以证明：

lam-T≡ : ∀ {n τ₁ τ₂ τ′} {Γ : Ctxt n} {E : Expr (suc n)} →
         Γ ⊢ lam τ′ E ∷ (τ₁ ↣ τ₂) → τ′ ≡ τ₁

事实上，情况确实如此：

lam-T≡ (tLam t) = refl

这为您提供¬p需要的证据：

lem : ¬ Γ ⊢ lam τ′ E ∷ (τ₁ ↣ τ₂)
lem t = ¬p (lam-T≡ t)

尝试对应该荒谬的事情进行模式匹配时输入错误

1 个答案: