当我们最大化时，如何在目标函数中转换最大值？

Question

如何重写程序

maximize max(2x, 3y)
s.t 0 <= x, y <= 1

这样LP / MILP可以解决它吗？

我的实际目标函数是

我是LP的新手，我不太清楚如何使用'二进制约束'。

我正在学习PuLP和GLPK 在我的生产代码中，我将使用CPLEX或Gurobi 那些这两个支持'最大化最大化'开箱即用？

Answer 1

“最大化最大化”本质上是非凸的。你需要在这里使用MIP技巧。并且你必须能够获得最大值的物体的下限和上限才能这样做。任何有限的界限都可以，但更清晰的边界会给予更紧密的放松，这可能会更快地解决并在数值上更好。

假设您遇到以下问题，这个问题比您给出的问题稍微宽泛一点：

maximize max(3x, 2y)
s.t.  0 <= x <= A, 0 <= y <= B.

请注意，3x在0之下，而在3A之上。同样，2y在0以下，2B以上。现在你引入两个二进制变量c_1和c_2，你要求其中只有一个是1。 c_1对应于3x中max的选择，c_2对应2y中max的选择。然后你写

maximize z_1 + z_2
s.t.  z_1 <= 3A c_1
      z_1 <= 3x
      z_2 <= 2B c_2
      z_2 <= 2y
      c_1 + c_2 = 1
      0 <= x <= A, 0 <= y <= B
      c_1, c_2 binary

第一个约束“关闭”z_1，如果最大值达到2y，则它的贡献为零。在z_1达到最大值的情况下，第二个约束限制3x 3x。

Answer 2

如果目标是最小化，您可以使用辅助变量，如下所示：

minimize z
s.t. z >= 2x, z >= 3y, 0 <= x, y <= 1

如果是最大化，则下面应该有效，

M是一个足够大的数字;

u_{1,2}_{1,2}是一组辅助变量，表示对2x和3y进行排序的“排列”。

maximize (z_1_2 + z_2_2)
s.t. 
z_1 = 2x
z_2 = 3y

z_1 = z_1_1 + z_1_2
z_2 = z_2_1 + z_2_2

u_1_1 + u_1_2=1
u_2_1 + u_2_2=1
u_1_1 + u_2_1=1
u_1_2 + u_2_2=1

z_1_1 <= M*u_1_1
z_1_2 <= M*u_1_2
z_2_1 <= M*u_2_1
z_2_2 <= M*u_2_2

z_1_1 + z_2_1 <= z_2_1 + z_2_2


0 <= x, y <= 1
u_{1,2}_{1,2} in {0,1}   //u_i_k are binary variables.

与sum不同，

一组数字的最小值和最大值不是线性形式，我认为CPLEX或MILP通常没有特殊的形式。在这个特定的例子中，较少数量的二进制辅助变量可能就足够了（而不是u_{1,2}_{1,2}），但一般来说，这样的排列变量会给出一系列数字的顺序，并允许您选择任何一个他们按等级（在你的情况下是最大的项目）。