在GF（2）中乘多项式

Question

我想在c＃中将gf（2）中的2个多项式相乘。请帮忙。

Answer 1

您可能希望使用按位运算符，并使用ulong或uint类型表示多项式。也就是说，如果P ₆₄ （GF（2））是可接受的。如果没有，你将不得不使用其他一些技巧。

ulong a, b;
// Compute r = x * y
ulong r = 0;
for (uint i = 0; i < 64; ++i) {
    if ((a & (1 << i)) != 0) {
        r ^= b << i;
    }
}

表示摘要：

• z & (1 << i)从z（x）
中选择x ⁱ 系数
• r ^= b << i计算r'（x）= r（x）+ b（x）* x ⁱ

免责声明：我不是C＃程序员。

Answer 2

行。

• 定义一个代表Galois Field的类。
• 定义一个表示字段上多项式的类。
• 在多项式上定义乘法运算符
• 你已经完成了。

也许你可以更清楚地知道你遇到问题的那一步。

Answer 3

哇，这是个大问题，主要取决于你必须使用的字段的类型。

一个很好的介绍是Sage的manual page用于有限域计算。

执行摘要：对于小字段（| F |＆lt; 2 ¹⁶ ），请通过Givaro C ++库使用Zech日志表。对于较大的字段，请使用PARI。特征字段2（这是您需要的）使用NTL。

关于字段实现的论文是available at ACM，它描述了如何使用Maxima计算机代数系统完成。

但是如果你只需要一个小玩具库来计算家庭作业的字段上的多项式，我就会这样做：

1. 创建一个表示多项式的类，它应该相乘并除以多项式。多项式很容易表示为数组。使多项式类成为通用类，如Polynomial<coefficient_type>。
2. 为prime p创建一个表示组Z _p 的类。该类将是多项式的系数。使用Z ₂ 作为您的字段。
3. 创建一个对多项式进行分解的类。
4. 为了表示GF（p ^k ），找到一个度为k的不可约多项式，并且所有在Z _p 之上的度数达到k的多项式都是你的元素。
5. 添加它们很容易（添加系数，它们已经在Z _p 中）
6. 在乘以两个多项式之后，请确保将结果除以4中选择的不可约多项式。

因此，您将实现一个通用的简单程序，它可以在所有有限域上添加和乘法元素！