Question

对于形式为y = a * x ^ 2 + b * x + c的二次方程，max / min出现在x = -b / 2a处。对于更高的多项式（x> = 4），是否存在这样的硬和快等式。对于这样的多项式，我上网的解决方案建议绘制曲线并找到。如何在没有图形的情况下找到绝对最大值？

Answer 1

如果您只处理多项式，那么您应该检查libmatheval。我不会详细说明这背后的数学理论和所需的C代码，你会找到一个完整的参考here。但是，这是算法的草图：

将多项式解析为函数f
计算f的衍生物，称之为g（f'）
在指定的时间间隔内使用您最喜欢的数值方法找到g的零（可能是[MININT, MAXINT]或类似的东西）。
根据上面的列表，在每个点评估f。
还会在第3点使用的搜索间隔的上限和下限中评估f。
保留第4点和第5点的最大值和最小值。这些是绝对最大值和最小值。

特别是，第6点的声明由a theoretical proof支持。

注意如果你考虑在任何限制区间之外的多项式（即从-inf到+ inf），那么它们是无界的，因为它们的最大值或最小值（或两者）都是无穷大。可能你对有限max / min（如果它们存在）感兴趣。您可以检查max或min是否应该是无限的，但是您不会从上面的算法中找到它，因为计算会对值施加数值限制：

如果多项式具有奇数度，则为min = -inf和max = +inf。
如果多项式具有偶数度，max和min之间的值是有限的。

Answer 2

您可以通过区分和求解等于0的梯度，使用sympy对度为＆lt; = 5的多项式进行分析求解。

请注意，这将为解决方案提供多个潜在位置（包括最小值和最大值），因此您必须评估潜在答案以找到实际最大值。

例如，使用sympy，我们可以通过以下方式计算四分之一的最大位置：

from sympy import solve
from sympy.abc import a,b,c,d,e,x
f=a*x*x*x*x+b*x*x*x+c*x*x+d*x+e
A=solve(f.diff(x),x)
for sol in A:
    print sol

给出3个潜在职位：

(((d/(4*a) - b*c/(8*a**2) + b**3/(32*a**3))**2/4 + (c/(6*a) - b**2/(16*a**2))**3)**(1/2) + d/(8*a) - b*c/(16*a**2) + b**3/(64*a**3))**(1/3)*(1/2 + I*3**(1/2)/2) - (c/(6*a) - b**2/(16*a**2))/((1/2 + I*3**(1/2)/2)*(((d/(4*a) - b*c/(8*a**2) + b**3/(32*a**3))**2/4 + (c/(6*a) - b**2/(16*a**2))**3)**(1/2) + d/(8*a) - b*c/(16*a**2) + b**3/(64*a**3))**(1/3)) - b/(4*a)

(((d/(4*a) - b*c/(8*a**2) + b**3/(32*a**3))**2/4 + (c/(6*a) - b**2/(16*a**2))**3)**(1/2) + d/(8*a) - b*c/(16*a**2) + b**3/(64*a**3))**(1/3)*(1/2 - I*3**(1/2)/2) - (c/(6*a) - b**2/(16*a**2))/((1/2 - I*3**(1/2)/2)*(((d/(4*a) - b*c/(8*a**2) + b**3/(32*a**3))**2/4 + (c/(6*a) - b**2/(16*a**2))**3)**(1/2) + d/(8*a) - b*c/(16*a**2) + b**3/(64*a**3))**(1/3)) - b/(4*a)

(c/(6*a) - b**2/(16*a**2))/(((d/(4*a) - b*c/(8*a**2) + b**3/(32*a**3))**2/4 + (c/(6*a) - b**2/(16*a**2))**3)**(1/2) + d/(8*a) - b*c/(16*a**2) + b**3/(64*a**3))**(1/3) - b/(4*a) - (((d/(4*a) - b*c/(8*a**2) + b**3/(32*a**3))**2/4 + (c/(6*a) - b**2/(16*a**2))**3)**(1/2) + d/(8*a) - b*c/(16*a**2) + b**3/(64*a**3))**(1/3)

如评论中所述，当x是其最小值和最大值时，您还应检查等式的值。

在没有绘图的情况下找到多项式的最大值/最小值的算法

2 个答案: