如何在矩阵区域中找到最小或最大元素？

Question

对于具有整数值的NxM矩阵，找到区域（x1，y1）（x2，y2）的最小元素的最有效方法是什么，其中0 <= x1＆lt; = x2＆lt; M和0＆lt; = y1＆lt; = y2＆lt; N

我们可以假设我们会多次查询不同的区域。

我想知道我们是否可以将范围最小查询方法扩展到这个问题。 http://community.topcoder.com/tc?module=Static&d1=tutorials&d2=lowestCommonAncestor

非常直接的解决方案可能是使用最有效的RMQ解决方案（Segment Tree）然后按行或列方式应用它。

最坏情况复杂度为min（N，M）* log（max（N，M））

但我仍然认为我们可以做得更好。

Answer 1

如果没有关于矩阵内容或其存储方式的其他信息，除了扫描给定区域中的每个条目之外，不可能提出任何建议。那是 O（（x2-x1）*（y2-y1））。你的问题太模糊，不能陈述任何其他内容。

如果您对矩阵有其他了解，例如，如果您知道元素可能以某种方式排序，那么您可能会做得更好（概率上，在一般情况下）。

Answer 2

这取决于“最有效的方式”是什么意思。可以最大限度地缩短查询时间本身，或预处理时间或内存要求。

如果只应最小化查询时间，“最有效的方法”是预先计算所有可能的区域。然后通过返回一些预先计算的值来处理每个查询。查询时间为O（1）。内存和预处理时间都很长：O（（NM） ² ）。

更实际的是使用OP中引用的页面中的Sparse Table algorithm。该算法准备一个包含所有两个幂长度间隔的表，并使用一对这些间隔来处理任何范围最小查询。查询时间为O（1）。内存和预处理时间为O（N log N）。并且该算法可以很容易地扩展到二维情况。

只需准备一张包含所有两个幂长度和两个幂高度矩形的表格，并使用其中四个矩形来处理任何范围最小查询。结果是这些矩形中的每一个都至少有四个最小值。查询时间为O（1）。内存和预处理时间为O（NM * log（N）* log（M））。

本文："Two-Dimensional Range Minimum Queries" by Amihood Amir, Johannes Fischer, and Moshe Lewenstein建议如何将此算法的内存需求和预处理时间减少到几乎为O（MN）。

本文："Data Structures for Range Minimum Queries in Multidimensional Arrays" by Hao Yuan and Mikhail J. Atallah给出了不同的算法，包括O（1）查询时间和O（NM）内存以及预处理时间。

Answer 3

伪代码：

function getMax(M, x1, x2, y1, y2)
    max = M[x1,y1]
    for x = x1 to x2 do
        for y = y1 to y2 do
            if M[x,y] > max then max = M[x, y]
    return max

这是输入大小的O（n），只能合理地解释为矩阵区域的大小（x2 - x1）*（y2 - y1）。如果您想要最小值，请将max更改为min并且＆gt;到＆lt;。你不能比O（n）做得更好，即检查每个可能的元素。假设您的算法比O（n）快。然后它不会检查所有元素。要获得算法的失败案例，请取其未检查的其中一个元素，并将其替换为（max + 1），然后重新运行该算法。