Question

对于排列，给定N和k，我有一个函数，用于按字典顺序查找k的{{1}}排列。此外，给定一个排列N，我有一个函数，可以在perm的所有排列中找到排列的词典索引。为此，我使用this answer中建议的“因子分解”。

现在我想对N的整数分区做同样的事情。例如，对于N，我希望能够在索引（左）和分区（右）之间来回：

N=7

我尝试了一些事情。我想出的最好的是

 0 ( 7 )
 1 ( 6 1 )
 2 ( 5 2 )
 3 ( 5 1 1 )
 4 ( 4 3 )
 5 ( 4 2 1 )
 6 ( 4 1 1 1 )
 7 ( 3 3 1 )
 8 ( 3 2 2 )
 9 ( 3 2 1 1 )
10 ( 3 1 1 1 1 )
11 ( 2 2 2 1 )
12 ( 2 2 1 1 1 )
13 ( 2 1 1 1 1 1 )
14 ( 1 1 1 1 1 1 1 )

给出以下内容：

sum = 0;
for (int i=0; i<length; ++i)
  sum += part[i]*i;
return sum;

这不太奏效，但似乎走在正确的轨道上。我想出了这个，因为它计算了我有多少次向下移动一个数字（如0 0( 7 ) 1 1( 6 1 ) 2 2( 5 2 ) 3 3( 5 1 1 ) 3 4( 4 3 ) 4 5( 4 2 1 ) 6 6( 4 1 1 1 ) 5 7( 3 3 1 ) 6 8( 3 2 2 ) 7 9( 3 2 1 1 ) 10 10( 3 1 1 1 1 ) 9 11( 2 2 2 1 ) 11 12( 2 2 1 1 1 ) 15 13( 2 1 1 1 1 1 ) 21 14( 1 1 1 1 1 1 1 )转到6,3,2）。但是，我无法看到如何修复它，因为我不知道如何解决事情必须重新组合的问题（例如6,3,1,1转到6,3,1,1）。

Answer 1

考虑为什么“因子分解”适用于排列，同样的逻辑在这里起作用。但是，不必使用k!作为k个对象的排列数，而是必须使用分区函数p(n,k)作为n的分区数，最大部分最多k。对于n=7，这些数字是：

k | p(7,k)
0 | 0
1 | 1
2 | 4
3 | 8
4 | 11
5 | 13
6 | 14
7 | 15

例如，要获得(3,2,1,1)的词典索引，请计算

p(3+2+1+1) - [ p(3+2+1+1,3-1) + p(2+1+1,2-1) + p(1+1,1-1) + p(1,1-1) ] - 1

是15 - [4 + 1 + 0 + 0] - 1 = 9。在这里，您计算7的分区数，最大部分小于3加上分区数为4，最大部分小于2加...相同的逻辑可以反转这一点。在C中，（未经测试的！）函数是：

int
rank(int part[], int size, int length) {
    int r = 0;
    int n = size;
    int k;
    for (int i=0; i<length; ++i) {
        k = part[i];
        r += numPar(n,k-1);
        n -= k;        
    }
    return numPar(size)-r;
}

int
unrank (int n, int size, int part[]) {
    int N = size;
    n = numPar(N)-n-1;

    int length = 0;

    int k,p;
    while (N>0) {
        for (k=0; k<N; ++k) {
            p = numPar(N,k);
            if (p>n) break;
        }
        parts[length++] = k;
        N -= k;
        n -= numPar(N,k-1);
    }
    return length;
}

此处numPar(int n)应返回n的分区数，而numPar(int n, int k)应返回n的分区数，其中最大部分为k {} 。你可以使用递归关系自己编写这些。

Answer 2

#include <stdio.h>

// number of combinations to divide by the number of k below n
int partition(int n, int k){
    int p,i;

    if(n<0) return 0;
    if(n<2 || k==1) return 1;
    for(p=0,i=1;i<=k;i++){
        p+=partition(n-i,i);
    }
    return p;
}

void part_nth_a(int n, int k, int nth){
    if(n==0)return;
    if(n== 1 || n==k && nth == 0){
        printf("%d ", n);
        return ;
    }
    int i, diff;
    for(i=0;i<k;++i){
        diff = partition(n, k-i) - partition(n, k-i-1);
        if(nth < diff){
            printf("%d ", k-i);
            n -= (k-i);
            if(diff == 1)
                part_nth_a(n, k-i, 0);
            else
                part_nth_a(n, k-i, nth);
            return;
        }
        nth -= diff;
    }
}

void part_nth(int n, int nth){
    if(nth == 0){
        printf("%d ", n);
        return ;
    }
    int i, j, numOfPart;
    for(i=1;i<n;++i){
        numOfPart = n-i < i ? partition(i, n-i) : partition(i, i);
        if(nth <= numOfPart)
            break;
        nth -= numOfPart;
    }
    printf("%d ", n-i);
    if(n-i < i)
        part_nth_a(i, n-i, nth-1);
    else
        part_nth_a(i, i, nth-1);
}

int main(){
    int n = 7;
    int i, numOfPart = partition(n, n);
    for(i=0;i<numOfPart;++i){
        printf("%2d ( ", i);
        part_nth(n, i);
        printf(")\n");
    }
    return 0;
}

查找整数分区的字典顺序

2 个答案: