Question

我花了最近5个小时寻找答案。即使我找到了许多答案，但他们也没有任何帮助。

我基本上寻找的是任何32位无符号整数的按位XOR运算符的数学，算术表示。

即使这听起来很简单，但没有人（至少看起来如此）设法找到这个问题的答案。

我希望我们能集思广益，共同寻找解决方案。

感谢。

Answer 1

这是similar longer answer I gave ...

的摘要

基本逻辑运算符

NOT = (1-x)

AND = x*y

从那些操作员我们可以得到......

OR = (1-(1-a)(1-b)) = a + b - ab

OR = a + b，如果我们知道＆{1}}的所有值a*b = 0 B'/ P>

2-Factor XOR

从所有真实条件的集合中得出......

XOR = 1 - (1 - a(1-b))(1 - b(1-a)) = a + b - ab(3 - a - b + ab)

从赞美真实条件中得出......

XOR = (1 - abc)(1 - (1-a)(1-b)(1-c)) = a + b - ab(1 + a + b - ab)

因为我们可以使用互斥条款编写(a & !b) || (!a & b)，所以我们可以将OR翻译简化为+并获得...

XOR = a + b - 2ab

对于二进制值，我们可以将此表达式压缩为

XOR = (a-b)²

多因素XOR

XOR = (1 - A*B*C...)(1 - (1-A)(1-B)(1-C)...)

Excel VBA示例...

Function ArithmeticXOR(R As Range, Optional EvaluateEquation = True)

Dim AndOfNots As String
Dim AndGate As String
For Each c In R
    AndOfNots = AndOfNots & "*(1-" & c.Address & ")"
    AndGate = AndGate & "*" & c.Address
Next
AndOfNots = Mid(AndOfNots, 2)
AndGate = Mid(AndGate, 2)

'Now all we want is (Not(AndGate) AND Not(AndOfNots))
ArithmeticXOR = "(1 - " & AndOfNots & ")*(1 - " & AndGate & ")"
If EvaluateEquation Then
    ArithmeticXOR = Application.Evaluate(xor2)
End If

End Function

任何一个k

可以扩展这些相同的方法，以允许k个条件中的任何n个数字合格为真。

例如，在三个变量a，b和c中，如果您愿意接受任何两个条件，那么您需要＆amp; b或a＆amp; c或b＆amp; c。这可以从复合逻辑算术建模...

(a && b) || (a && c) || (b && c) ...

并应用我们的翻译......

1 - （1-ab）（1-ac）（1-bc）...

这可以扩展到k个条件中的任何n个数。有一种变量和指数组合的模式，但这会很长;但是，您可以通过忽略二进制上下文的权限来简化。确切的模式取决于n与k的关系。对于n = k-1，其中k是被测试条件的总数，结果如下：

c1 + c2 + c3 ... ck - n *Π

其中c1到ck都是n变量组合。

例如，如果满足4个条件中的3个就是

abc + abe + ace + bce - 3abce

这具有完美的逻辑意义，因为我们所拥有的是OR条件的加法AND减去重叠的AND条件。

如果你开始看n = k-2，k-3等，那么模式会变得更复杂，因为我们有更多的重叠来减去。如果这完全扩展到n = 1的最小值，那么我们只得到一个常规的OR条件。

Answer 2

“数学，算术表示”无论如何都不是正确的术语。您正在寻找的是从IxI到I（整数域）的函数您希望对此功能有哪些限制？只有线性代数？（+， - ，*，/）那么模拟XOR运算符是不可能的如果您接受一些非线性运算符，如Max（）Sgn（）等，您可以使用一些“更简单”的运算符来模拟XOR运算符。

Answer 3

鉴于（ab）（ab）非常明显地为单个位计算xor，你可以构造一个带有floor或mod算术运算符的函数来将这些位分开，然后xor，然后总和重组。 （ab）（ab）= a ² -2·a·b + b ² 因此xor的一位给出一个带有3个项的多项式

如果没有地板或mod，不同的位会相互干扰，所以你一直看着一个polynomial interpolation的解决方案，它将输入a，b视为单个值： a xor b = g（a·2 ³² + b）

多项式有2个⁶⁴ -1项，但在a和b中是对称的，因为xor是可交换的，所以你只需要计算一半的系数。我没有空间为你写出来。

Answer 4

（a-b）*（a-b）是正确答案。唯一的？我想是的！

Answer 5

我无法找到32位无符号整数的任何解决方案，但我找到了一些 2位整数的解决方案，我试图在我的Prolog中使用程序。我的解决方案之一（使用取幂和模数）在this StackOverflow question中描述，而其他解决方案（一些没有取幂，纯代数）可以在this code repository on Github中找到：看到不同的xor0和{{ 1}}实现。

对于2位uint，最好的xor表示似乎是：o_xor0。

使用+， - ，*，/表示为Excel公式（其中A2到A5的单元格，B1到E1的单元格包含数字0-4）的解决方案将插入到A2到E5的单元格中：

xor(A,B) = (A + B*((-1)^A)) mod 4

Answer 6

对于32位无符号整数，可以调整和优化this solution。它很复杂，它使用对数但似乎是最通用的，因为它可以用于任何整数。另外，你必须检查它是否真的适用于所有数字组合。

Answer 7

我确实认识到这是一个古老的主题，但问题是值得回答，是的，这可以使用算法。而不是详细介绍它是如何工作的，我只是用一个简单的例子（用 C 编写）演示：

    #include <stdio.h>
    #include <stdlib.h>
    #include <math.h>   
    #include <time.h>

    typedef unsigned long
            number;

    number XOR(number a, number b)
    {
            number
                    result = 0,
            /*
                    The following calculation just gives us the highest power of 
                    two (and thus the most significant bit) for this data type.
            */          
                    power = pow(2, (sizeof(number) * 8) - 1);
    /*
            Loop until no more bits are left to test...
    */                
            while(power != 0)
            {
                    result *= 2;
            /*
                    The != comparison works just like the XOR operation.
            */                
                    if((power > a) != (power > b))
                            result += 1;
                    a %= power;
                    b %= power;
                    power /= 2;
            }
            return result;
    }

    int main()
    {
            srand(time(0));
            for(;;)
            {
                    number
                            a = rand(), 
                            b = rand();
                    printf("a = %lu\n", a);
                    printf("b = %lu\n", b);
                    printf("a ^ b     = %lu\n", a ^ b);
                    printf("XOR(a, b) = %lu\n", XOR(a, b));
                    getchar();
            }
    }

Answer 8

我认为这种关系可能有助于回答您的问题

A + B = (A  XOR  B ) + 2*(A.B)

XOR的数学（算术）表示

8 个答案: