垂直线的最小二乘方程

Question

鉴于以下2d点：

213 106.8

214 189

214 293.4

213 324

223 414

我想找到贯穿它们的最小二乘垂直轴线的方程式。我的计划是得到一个线方程，这样我就可以测试它们到最小二乘线的距离的后续点。

由于

Answer 1

严格地说，没有为垂直线定义最小二乘拟合（因为 平行于Y轴测量每个点的误差。）

但是，如果交换X和Y，则可以找到最少的水平线 方块适合。它仅适用于Y坐标值的平均值：

水平线的等式只是y = b。

每个点的误差（x _i ，y _i ）是（y _i - b）。

误差的平方和是SSE = sum（（y _i - b） ² ）。我们希望 找到最小化SSE的b的值。采用SSE的偏导数 尊重b并将其设置为零：

sum（-2（y _i - b））= 0

简化，

sum（y _i ） - Nb = 0

和

b = sum（y _i ）/ N

因此，在您的情况下，对X坐标求平均会得到X坐标 最符合你要点的垂直线。

Answer 2

最通用的解决方案是应用Total Least Squares

这找到（a，b，d）最小化垂直距离的平方和（ax + by = d（a ^ 2 + b ^ 2 = 1）：| ax + by - d |）。这可以处理垂直线，例如0x + 1y = 0。

然而，实施起来有点困难，因此@Jim Lewis提供的解决方案可能会更好，更实用。

Answer 3

如果您希望最佳拟合线为垂直线（即x =常数），则y值无关紧要。只需取x值的平方均值的平方根。