检查浮点数是否完全转换为二进制

Question

我知道如何将整数和浮点数转换为binay。但是一些浮点数没有精确的二进制格式。像0.5一样可以写成0.1和0.25可写为0.01。但是如何确定一个数字是否可以完全转换为二进制？

Answer 1

要表示二进制浮点格式，数字必须是2的幂的倍数，包括负幂。例如，.375是可表示的，它是1/8的倍数。 （1/8是.125，.375是三倍。）还有其他要求，因为数字部分必须符合浮点格式：

有限数字可以用通用IEEE 754双精度格式表示，当且仅当它等于 M •2 ^e 时一些整数 M 和 e 使得-2 ⁵³ ＆lt; M ＆lt; 2 ⁵³ 和-1074≤ e ≤971。

对于单精度，-2 ²⁴ ＆lt; M ＆lt; 2 ²⁴ 和-149≤ e ≤104。

这些值来自指定浮点格式的参数，例如分数和指数字段可用的位数以及指数偏差的数量。

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以下是测试数字是否符合上述标准的方法。

首先，如果数字具有小数部分，请尝试将数字乘以2，直到没有小数部分。如果乘以大于149（单精度）或1074倍（双精度），则该数字不可表示。如果数字没有小数部分但是是偶数，则将其除以2，直到它为奇数。在104（单精度）或971（双精度）分割后停止。完成乘法或除法后，查看剩余数字的绝对值。如果它大于或等于16,777,216（单精度）或9,007,199,254,740,992（双精度），则该数字不可表示。否则就是。

（提示：当使用十进制数字进行乘法步骤时，如果小数部分以5以外的数字结尾，则该数字不可表示。例如，.4和.24不可表示.5， .25，和.625，虽然.525不是。）

Answer 2

如果您有大整数运算，请将xxx.yyy重写为分数xxxyyy/10^n，其中n是分数部分yyy的长度（位数）。

将上述分数的分子和分母的十进制表示转换为二进制，然后减少分数：

• 计算gcd（xxxyyy，10 ^ n），
• reducedNumerator = XXXYYY / GCD（XXXYYY，10 ^ n）的
• reducedDenominator = 10 ^ n / gcd（xxxyyy，10 ^ n）

如果reducedDenominator可以被5整除（余数为零）那么这个数字不能用二进制表示，否则它是，并且浮点数可以用[sign*integerSignificand*2^biasedExponent

的形式表示

但在大多数语言中，有效数的位数和指数范围都是有限的。

让我们首先看一下分子绝对值，（我假设不是0）并提取

• nh =最高位的等级设置为1，
• nl =最低位的等级设置为1

nh+1-nl给出表示有效数字所需的位数（二进制数字），它必须低于极限
例如，在IEEE 754双精度中：nh+1-nl<=53或nh-nl<53

现在让我们看一下分母，如果不能被5整除，它就是两个10 ... 0的幂，所以我们也可以重写可分性测试：取

• dh =最高位的等级设置为1
• dl =最低位的等级设置为1

如果dh不等于dl，则该数字不能用二进制表示 如果dh==dl，您必须nh-dh保持在特定范围内，还必须nl-dh。

例如，IEEE 754双精度：-1074 <= nl-dh和nh-dh <= 1023

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