Question

我有一个N×N网格，每个框都有值。我必须从左上角移动到右下角（路径1），从右上角移动到左下角（路径2）。当我从左上角移动到右下角时，我只能向下或向右移动。同样，当我从右上角移动到左下角时，我只能左右移动。

但如果我在走路1时向下移动，路径2的相应移动应该在左边。类似地，如果我在采用路径1时向右移动，则路径2的相应移动应该是向下的。

当我们采用两条路径时，我们总结了每个框中遇到的值。我们可以获得的最大值是多少？

以下面的网格为例：

 6   0   3  -1

 7   4   2   4

-3   3  -2   8

13  10  -1  -4

我们可以采用的最佳路径表示如下：路径1由*表示，而路径2由〜表示。

(6*)  (0)   (3~)  (-1~)

(7*)  (4*~) (2~)  (4)

(-3)  (3*~) (-2*) (8*)

(13~) (10~) (-1)  (-4*)

这两条路径的总和是56.

我们必须设计一种算法来计算给定任意N×N网格的最大可能得分。

很明显这是一个DP问题。所以，我试图确定一个递归关系，可以这么说。我尝试使用从N乘M网格中找到所有路径的最大总和的经典问题的递归关系，但这不起作用，因为它太复杂了。

我试图将N乘N网格划分为四个（N-1）个重叠的网格（N-1），因此在3乘3网格中进行演示：

a1 a2 a3

a4 a5 a6

a7 a8 a9

我把它分为四个2 x 2网格：

a1 a2  ,   a2 a3   ,   a4 a5   ,  a5 a6

a4 a5  ,   a5 a6   ,   a7 a8   ,  a8 a9

假设我们知道所有这些网格的最佳路径，那么我们可以为更大的网格计算最佳路径吗？

嗯，这似乎很有希望，但我很快发现这些复发关系，取决于更大的案例。例如，

如果我们考虑第二个2 x 2网格，假设我们知道最佳路径1和路径2 = S.现在，显然，对于我们从a1到a2，我们需要向右移动，但这意味着在子案例中的第一次移动（路径2中的第一次移动）应该是向下移动，这是不能保证的。

我们如何解决这个问题？

Answer 1

移动这两个点的规则相当于通过网格找到单个路径，该网格是网格和自身旋转-90度（向左90度/逆时针/逆时针90度）的总和，具体取决于您的区域设置）。

左上角的“向下”对应于右上角的“左”，当旋转-90度时，它向下。左上角的“右”对应于右上角的“向下”，当旋转-90度为右时。（知道吗？）

所以你的示例网格是

 6-1   0+4   3+8  -1-4        5   4  11  -5

 7+3   4+2   2-2   4-1       10   6   0   3
                          =
-3+0   3+4  -2+3   8+10      -3   7   1  18

13+6  10+7  -1-3  -4+13      19  17  -4   9

现在，您可以通过任何常用方法找到从左上角到右下角的路径。实际上，您不需要路径，只需要最大总和，这更容易：通过添加从左上角向下折叠矩阵。初始条件是上面的网格。下一步是将左上角的值添加到其有效的邻居：

     9  11  -5

15   6   0   3

-3   7   1  18

19  17  -4   9

然后选择具有两个有效邻居的任何网格点的两个邻居中较大的一个（这里21大于20和12）：

        20  -5

    21   0   3

12   7   1  18

19  17  -4   9

等等......

            15

        21   3              24
                ->                  
    28   1  18           29 18     ->        47
                                                    ->  
31  17  -4   9        48 -4  9            44  9            56

我刚刚手动解决了你的4x4案例，答案是56.

Answer 2

您可以将此减少到一个网格上只有一个路径的情况。制作网格的第二个副本，旋转第二个副本，然后将它们矩阵添加在一起，并使用一个路径在新网格上求解。动态编程问题很容易（即为每个节点计算部分最大值）。

如何使用两个不同的路径遍历网格以最大化路径的总和？

2 个答案: