Question

根据my previous question，我想使用二进制整数线性规划（所有变量都是二进制）优化目标函数，如下所示：

Minimize f = (c1*x1) + (c2*x2) + MAX((c3*x3),(c4*x4)) + (c5*x5)
Subject to: some equality and inequality constraints

对于MAX运算符，我使用了辅助变量x6并在问题中添加了x6>=(c3*x3)和x6>=(c4*x4)约束，因此问题变为：

Minimize f = (c1*x1) + (c2*x2) + x6 + (c5*x5),  with added constraints.

我使用CPLEX API for MATLAB来优化目标函数因为所有变量都是二进制的，除了一个（（x6）是连续的）并且系数具有double值，问题变成混合整数线性规划所以我用{{ 1}}具有此配置的功能：

变量类型：cplexmilp（ B ：二进制， C ：连续）
下限：ctype='BBBBBC'
上限：lb=[0 0 0 0 0 0]
功能调用： ub=[0 0 0 0 0 inf]

但有时在结果中我看到[fval] = cplexmilp(f, Aineq, bineq, Aeq, beq,[],[],[],lb,ub,ctype)和x3有连续值（0到1之间）和x4。所以我的问题是：

任何人都可以告诉我x3+x4=1和x3有什么问题吗？
是否存在不使用辅助变量并使用x4解决此优化问题的解决方案？

提前致谢

[更新]：
我的代码的一部分有逻辑错误我修复了它们，现在在x3和x4都不是二进制的所有情况下我们都有x3 *（1-x3）＆lt; 10 ^（ - 5），x4 *（1-x4）＆lt; 10 ^（ - 5）和x3 + x4 = 1，所以@David Nehme是对的（根据他的有用评论），但我的第二个问题仍然存在！

Answer 1

在您的情况下，需要辅助变量x6，因为“MAX”函数不是线性的（它具有不连续的梯度，其中c3 * x3 == c4 * x4）。通过添加附加变量和约束，您将使用与原始非线性问题等效的解决方案创建问题的线性版本。权衡是如果c3或c4的值不是0或1，那么你的问题不是纯二进制问题。这是一个非常好的权衡，特别是如果你使用一个好的MIP求解器。

Answer 2

David的解决方案向您展示了为什么您的配方已经线性化但非二元化。您也可以尝试以LP或MPS格式打印出问题，以查看所有产生的约束。

你问过一个继续纯粹是二元的配方。这是一种方法：

将其转换为纯二元式

这是一种方法来解决Max（）也是二进制问题。它涉及额外的辅助。变量，但是一旦你应用标准的if-then IP技巧，它就相对简单了。

首先，让我们在一个简单的表中列出四种可能的情况，并查看max（）项可以采用的值。这些案件是相互排斥的。

  x3 | x4 | max (c3.x4, c4.x3)
 -------------------------------
  0   | 0 | 0
  1   | 0 | c3
  0   | 1 | c4
  1   | 1 | max(c3, c4) - a constant

现在，让C34为最大值（c3，c4）。请注意，C34是一个数字，而不是问题中的变量。我们需要这个用于新的目标函数。

引入新的二进制变量

对于上述四种情况中的每一种，我们引入一个辅助BINARY变量。为清楚起见，将它们称为y0，y3，y4，y34。

上表中只有一个案例可以容纳，所以我们添加：

y0 + y3 + y4 + y34 = 1 
yi are BINARY

现在，剩下的就是添加确保的链接约束：

 If x3=0 AND x4=0 then y0=1
 If x3=1 AND x4=0 then y3=1
 If x3=0 AND x4=1 then y4=1
 If x3=1 AND x4=1 then y34=1

我们可以通过为上述每个条件添加一对线性约束来确保。

   2 y0 <= (1- x3) + (1 -x4)
  (1-x3) + (1-x4) <= y0 + 1

   2 y3 <= x3 + (1-x4)
  x3+(1-x4) <= y3 + 1

   2 y4 <= x4 + (1-x3)
  x4+(1-x3) <= y4 + 1

   2 y34 <= x3 + x4
  x3+x4 <= y34 + 1

新的目标函数现在变为：

   Minimize f = (c1*x1) + (c2*x2) + (c5*x5) + 0*Y0 + C3*Y3 + C4*Y4 + C34*Y34

请注意，我们在目标函数中不再使用Max（）项。并且所有x和y变量都是二进制的。应包括所有原始约束加上上面的新约束（8 + 1 = 9）。完成后，您可以使用cplexbilp，因为这是一个纯粹的BILP问题。

希望有所帮助。

MATLAB中CPLEX“cplexmilp”函数的奇怪结果

2 个答案:

将其转换为纯二元式