Question

对于Y组合定理，

 For every function F there exists an X such that FX=X

这里的F是什么意思？什么是F(x) = x +1的固定点？我的理解是x+1=x没有解决方案？

以下证据：

For any function F, let W be the function λx.F(xx) and let X = WW.
    We claim that X is a fixed point of F. Demonstrated as follows

    X = WW
    X = λx.F(xx) W
    X = F(WW)
    X = FX

λx.F(xx)如何定义？再次使用F(x) = x + 1作为示例，F(xx)是什么意思？

Answer 1

你是对的，因为x+1 = x是一个数字，等式x没有解决方案。这里发生的是x并不仅限于数字;它可以是函数的函数。

关于xx：一般来说，lambda演算f x是函数应用程序，因此xx是“x应用于x”或x(x)。注意x是如何应用的函数和传递给它的值。

因此，如果F(x) = x+1，您有F(xx) = x(x)+1，W = λx.(x(x)+1)和X=W(W)就是函数：

X = W(W) = (λx.(x(x)+1)) (λy.(y(y)+1))

这看起来很抽象，因为如果你尝试在任何具体值上扩展X，你会发现该过程永远不会结束。但是不要让那困扰你;尽管X是F的固定点，因为

F(X) = F(W(W))             by definition of X = W(W)
     = (λx.F(x(x))) W      using the fact that (λt.f(t))x is f(x)
     = W(W)                by definition of W = λx.F(x(x))
     = X                   by definition of X = W(W).

Answer 2

似乎有点混淆功能的固定点以及lambda演算符号。

第一个λx.F(xx)是一个函数，它接受一个参数x并将“x”应用于x，然后“然后”将“F”应用于结果，所以更像是function (x) { return F(x(x)); }，但不是字面意思，因为在lambda演算中，它是关于参数的替换，并且没有你需要进行替换的顺序（我用于简化的是 applicative 顺序）。

因此，使用简单的文本重写语义将证明重写为类C语法（实际上是JavaScript，因为它具有第一类函数）看起来像：

var W = function (x) { return F(x(x)); }
var X = W(W);

W(W) => (function (x) { return F(x(x)); }(W))
     => return F(W(W))
     => return F(X)
     => F(X)

现在回到定点。你给出了一个固定点不存在的代数示例......对于函数来说，它更像是“找到ADD1(x) = x + 1的固定点”

var F = function (x) { return x + 1; }
var W = function (x) { return F(x(x)); }
      = function (x) { return function (x) { return x + 1; }(x(x)); }
var X = W(W);

W(W) => function (x) { return function (x) { return x + 1; }(x(x)); }(W)
     => return function (x) { return x + 1; }(W(W))
     => return W(W) + 1
     => W(W) + 1
     => X + 1
     => F(X)

我希望熟悉的语法使其不那么混乱而不是更多：）

对于定点组合子Y，什么是\ x.f（xx）

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