Question

我不擅长确定时间和记忆的复杂性，如果有人可以帮助我，我会很感激。

我有一个算法，在这里，我不确定它的时间和记忆复杂性是什么。

Function sample(k)
   IF k < 2
       Return 0
   Return 1 + sample(k/2)

它的时间和内存复杂性是什么？为什么？

由于

Answer 1

确定时间和内存复杂性等于计算运行算法时使用了多少这两种资源，并查看这些数量如何随输入大小而变化（ k 在这种情况下）改变。

时间将取决于每条指令的评估次数，空间将取决于计算解决方案所需的数据结构的大小。

在这个特定的场景中，你正在看一个递归算法，所以基本上这涉及计数1）进行了多少递归调用，以及2）为每个调用完成了多少工作。

由于每次调用输入减半，调用序列将如下所示：

sample(k)       )
 sample(k/2)    )
  sample(k/4)   ) 
     ...        ) - n = number of calls 
    sample(4)   )
     sample(2)  )
      sample(1) )

以这种方式减少每次递归调用会导致对数次调用。

n = log(k)

在每次调用时，我们在调用堆栈中存储常量数量的变量，并执行一定量的工作（操作）。这源于这样一个事实：每次调用中的变量数量和比较/加法/除法不会随着 k 更大而变大。

总时间复杂度是呼叫次数乘以每次呼叫完成的工作量，因此

time complexity = A*log(k) + B

对于某些常量A和B，它们分别反映了进行递归调用和进行比较/除法的实际时间成本。同样：

space complexity = C*log(k) + D

对于适当的常数C和D，分别表示递归和变量存储的空间成本。

现在在这种分析中，我们主要关注的是渐近复杂度，即我们并不关心常量，因为它们反映了运行算法的机器的细节，我们真的想知道它的形状曲线（ k 变大）。如果您遵循使用Big-Oh表示法编写复杂性的规则，您将得出结果：

space complexity = time complexity = O(log(k))

编辑：内存复杂性细节

正如我之前所说，内存复杂性取决于数据结构计算解决方案所需的大小，因此您可能会问：此函数中没有使用数据结构，因此log（k）在哪里记忆力去了吗？

简答：您必须存储log(k)个参数k的不同值，每个递归调用一个。

详细解答：函数调用机制（我们通过递归利用）在这里使用隐式数据结构，其名称为 call stack 的。每次调用sample(k)时，都会创建一个新的堆栈帧，并将许多值压入堆栈：参数k的本地值，返回地址和其他依赖于实现的内容。以这种方式，每个递归调用在堆栈上形成存储其本地信息的“层”。整个画面最终看起来像这样：

----------- < top of stack | k = 1 | | ... | < stack frame for sample(1) |---------| | k = 2 | | ... | < stack frame for sample(2) |---------| ... |---------| | k = p/2 | | ... | < stack frame for sample(p/2) |---------| | k = p | | ... | < stack frame for sample(p) |---------| | | < stack frame for main() or whatever initially called sample(p) (we don't count this one)

（我在这里区分了每次递归调用时p的值的初始参数值k，以避免混淆，希望如此）

需要注意的是，由于存在n = log(k)递归调用，因此存在n个堆栈帧。每个堆栈帧具有恒定的大小，因此空间复杂度为O(log(k))。

Answer 2

你真的在看log_2（k），以2为底的对数。要改变基数，你必须乘以常数。而且由于我们无论如何都乘以常数，O（log（n）），O（ln（n））和O（log_2（n））都是相同的。

那么为什么上述方法与base 2具有对数复杂度？你在每次通话时将k分成两半。如果你倒退，你会在每次通话时乘以2。乘以2是2 ^ n，log_2（n）正好相反。

如果你绘制一个二叉树，它可能会有所帮助：一个有n个节点的树的高度为log_2（n），一个高度为n的树有2 ^ n个节点。

如何确定算法的内存和时间复杂度？

2 个答案:

编辑：内存复杂性细节