O（N）执行时间

Question

对于与此类似的代码：

for(int i = 0; i < n; i+=2){
   (Code that executes in constant time)
}

我听说这应该是O（N）的运行时间。但由于循环执行n / 2次不应该是O（N / 2）？任何人都可以解释为什么我每次增加2也不会将时间减少2倍？

Answer 1

如果我们回到Big O符号定义，它会指出f(x) ~ O(g(x))当且仅当f(x) <= C*g(x)其中C是常量。常量C可以调整到所需的任何值，在你的情况下，常量是2.当我们引用大O表示法时，不考虑常量和低阶项，因为根据定义，高阶项总是大于它们。

例如，O(N)始终是常数（C）大于N/c1 + c2（c1和c2是常量），其中C可以被视为C= c1+c2

另一个例子是，如果我们选择(N^2)+N，我们可以忽略较低的顺序，并说复杂性为O(N^2)，因为我们可以将常数C取为2，所以|N^2 + N| <= |N^2 + N^2| or 2|N^2|

我们也可以说N/2 ~ O(N^2)，但它不是一个紧张的上限。在算法的复杂性中，我们总是努力寻找最严格的界限，并且由于O(N)是一个更严格的上界，我们通常将它用于单变量单度函数。

Answer 2

Big O表示法不指定函数运行所需的时间。它仅表示函数的完成时间如何随值的增加/减少而变化。 O（N）表示线性时间增长;同样，O（N / 2）也表示完全相同的线性变化。在编写代码的时间复杂度时，您可以忽略任何系数，因为这些系数不会传达任何其他含义。

Answer 3

当处理时间复杂度时，数值常数被忽略......原因是如果你看N和1 / 2N的长期运行，常数不会从根本上改变结果。因此，复杂性是简单地减少到O（N）

从技术上讲，它减少了两倍，但减少的幅度不足以考虑整体运行时间，因此运行时间仍为O（N）

只是提供一个图片示例...蓝色和红色线条显示N和N / 2从长远来看基本相同......黄色线条是Nlog（N），相比之下，它对您来说很重要从长远来看，时间远远大于前面提到的两个..

请注意：这个答案仅仅是对大O符号忽略常量的强化，对于特定的定义，请参考上面的@hrv答案

Answer 4

通常可以将常量考虑在内。 “X”真正占用了处理时间，所以常数并不是那么大，加上Big O时间就像这是一个近似值，实际上并不准确，因为实际时间取决于更多的因素。这与你在for循环中初始化“int i = 0”的原因相同，你没有给出大的时间：

O（N + 1）

因此，O（N）与O（N / 2）

几乎相同

尽管其他用户坚持认为它们是相同的，但忽略常量是错误的，因为巨大的常量确实会影响运行时间。所以是的，虽然O（N）可能被认为与O（N / 2）相同，但几乎相同，因为常量会对整体运行时间产生重大影响（考虑O （10 ^ 12N），现在巨大的恒定物质？）

Answer 5

所以，让我试着解释一下为什么会这样：

你的代码：

for(int i = 0; i < n; i+=2){
   (Code that executes in constant time)
}

它实际上取决于底层硬件，但让我们假设每个'Assignment'，'Comparison'，'Arithmetic'，每个操作都需要单位时间。

所以，

int i = 0 

这只执行一次。 Time : 1 unit

i<n

执行n / 2次。 Time : n/2 units

i=i+2 

在这里，如果您将看到算术运算和分配操作都执行n / 2次，

Time : n/2 + n/2 = n units

此时我假设for循环中没有任何内容。

运行此循环所需的总时间单位：1 + n / 2 + n = 1 + (3n/2) units of time.

因此，对于小n（实际上是数万个，在底层处理器的计算能力的上下文中），1 + 3n/2 ~~ n.因为这个小的测试集需要花费几分之一秒。

相反，对于大n（数百万），(1+(3n\2)) < n，即对于大型测试数据，每个系数肯定具有其重要性，并且可能显着影响相应代码段的总执行时间。

希望它有所帮助。