Question

在gcc 4.7.3上，我的fegetround()函数返回FE_TONEAREST。根据{{3}}，这意味着从零开始四舍五入。本质上，它意味着在乘法后调整尾数的精度时保存移出的最后一位（因为它将是它应该的两倍）。然后，将保存的位添加到最终的尾数结果中。

例如，浮点乘法给出以下结果：

0x38b7aad5 * 0x38b7aad5 = 0x3203c5af

乘法后的尾数是

  1011 0111 1010 1010 1101 0101
x 1011 0111 1010 1010 1101 0101
-------------------------------
1[000 0011 1100 0101 1010 1110] [1]000 0101 1001 0101 0011 1001

[23'b]集保存有效数字，而[1'b]集保留最后一位向外移位。请注意，结果的尾数是

[000 0011 1100 0101 1010 1111]

最后一位切换为1，因为由于舍入模式，[1'b1]集已添加到拼接的尾数（[23'b]集）中。

这是一个让我感到困惑的例子，因为它让我觉得硬件没有正确舍入。

0x20922800 * 0x20922800 = 0x1a6e34c (check this on your machine)

  1010 0110 1110 0011 0100 1101
x 1010 0110 1110 0011 0100 1101
-------------------------------
01[01 0011 0111 0001 1010 0110 0][1]00 0000 0000 0000 0000 0000

Final Mantissas:       
Their Result:      01 0011 0111 0001 1010 0110 0
Correct Result(?): 01 0011 0111 0001 1010 0110 1

我整天都在处理二进制文件，所以我可能会错过这里简单的东西。给定的舍入模式，哪个答案是正确的？

Answer 1

当舍入到最近时，IEEE指定关系为偶数。 0是偶数，1是奇数，所以英特尔是正确的。

Answer 2

首先舍入到最近的在这里缺少一个细节。 舍入到最近（偶数）。

IEEE 754标准（第4.3.1节）引用：

roundTiesToEven，最接近无限精确结果的浮点数应为   交付使用;如果两个最接近的浮点数无限代表包含无法代表的数字   精确的结果同样接近，具有最低有效数字的结果将被传递

在第一个示例中，您计算的平方（8.75794e-5）（如果表示为32位浮点数）具有以下十六进制模式：0x38b7aad5。

（8.75794e-5）的所有24个有效位位是：

0xb7aad5 = 1.0110111_10101010_11010101

现在，你得到了：

1.0000011_11000101_10101110_10000101_10010101_00111001

值得注意的是，在99％的情况下，您的计算将在FPU（可能是x87）上执行，它以80位浮点格式运行。

英特尔®64和IA-32架构软件开发人员手册

（使用X87 FPU进行编程）：

当浮点，整数或压缩BCD整数时   值从内存加载到任何x87 FPU数据寄存器中，值为   自动转换为双扩展精度浮点格式（如果它们   不是那种格式。）

现在您想将结果存储在32位浮点数中：

1.[0000011_11000101_10101110]10000101_10010101_00111001

这里是舍入模式很重要的地方。 IEEE 754定义了其中的4个，但让我们关注默认的（舍入到最近（偶数）），我们在这里讨论这个。

既然你的FPU有结果（整个 - 我们有80位格式的64个有效位），它必须执行舍入以适应32位（24个有效位和24位）内的数字。需要显式存储的所有23位都放在上面的括号内。

现在四舍五入到最近与甚至字在这种特殊情况下无关，因为括号右边的位是不中途之间：

1.[0000011_11000101_10101111]
and
1.[0000011_11000101_10101110]

但他们离

更近了

1.[0000011_11000101_10101111]

这就是你的结果有效数为0x3203C5AF的原因。

现在有问题的结果是平方2.4759832E-19 0x20922800。

2.4759832E-19的24个有效位是：

0x922800 = 1.0010010_00101000_0000_0000

和平方：

1.[0100110_11100011_01001100]10000000_00000000_0000000

这里甚至部分非常重要。现在你的价值恰好位于中间：

1.[0100110_11100011_01001101]
and
1.[0100110_11100011_01001100]

超过2个值据说可以包含您的价值。从他们那里你现在需要选择一个（后者因为lsb = 0）。

现在您知道为什么结果的24位是0xA6E34C（最近的偶数）而不是0xA6E34D（最近但奇数）

浮点舍入不正确

2 个答案: