Question

我有一个nxn奇异矩阵。我想将k行（必须来自标准基础e1，e2，...，en）添加到此矩阵，使得新的（n + k）xn矩阵是完整列等级。添加的行数k必须最小，并且只要k是最小值，它们可以按任何顺序添加（不仅仅是e1，e2，...，它可以是e4，e10，e1，...）。

有人知道一个简单的方法吗？任何帮助表示赞赏。

Answer 1

您可以通过执行QR decomposition with column pivoting，然后对置换矩阵的最后n-rank(A)列进行转置来实现此目的。在matlab中，这是通过qr函数实现的（参见matlab文档here）：

r=rank(A);
[Q,R,E]=qr(A);
newA=[A;transpose(E(:,end-r+1:end))];

transpose(E(:,end-r+1:end))的每一行都是标准基础的成员，newA的等级将为n，这也是您需要这样做的最小标准基础数。

这是如何工作的：

使用列旋转进行QR分解是将矩阵A分解为产品的标准程序：

一个* E == Q * - [R

如果A是实数，Q是orthogonal matrix，如果A是复数，则Q是酉矩阵; R是upper triangular matrix，E是permutation matrix。

简而言之，选择排列使得对角线元素大于同一行中的非对角线，并且对角线元素的大小不增加。可以在netlib QR factorization page上找到更详细的说明。

由于Q和E都是正交（或单一）矩阵，因此R的秩与A的秩相同。为了提高A的等级，我们只需要找到增加R的等级的方法;由于旋转的结构和它是上三角形的事实，这更加直截了当。

现在，由于对旋转过程的要求，如果R的任何对角元素为0，则整行必须为0.如果R负责无效，则底部的n-rank(A)行为0。如果我们用单位矩阵替换右下角，那么新矩阵将是满秩。好吧，我们不能真正做到替换，但是我们可以将行矩阵附加到R的底部并形成一个具有相同等级的新矩阵：

B==[ 0 I ]     =>   newR=[ R ; B ]

这里I的维度是A的无效性和R的无效性。很容易看出rank(newR)=n。然后我们还可以通过以微不足道的方式扩展其维数来定义新的单一Q矩阵：

newQ=[Q 0 ; 0 I]

这样，我们的新秩n矩阵可以作为

获得

newA=newQ*newR.transpose(E)=[Q*R ; B ]*transpose(E) =[A ; B*transpose(E)]

请注意，B是[0 I]，E是置换矩阵，因此B*transpose(E)只是转置 E的最后n-rank(A)列，以及由标准基础组成的一组行，这正是您想要的！

Answer 2

n非常大吗？不使用任何数学运算的最简单的解决方案是尝试添加e_i并查看排名是否增加。如果是，请保留e_i。继续直到完成。

Answer 3

我喜欢@Xiaolei Zhu的解决方案，因为它很优雅，但另一种方式（计算效率更高）：

Answer 4

来自Identity矩阵的

行/列可以按任何顺序添加。它不需要按照通常的顺序添加为e1，e2，...一般情况下使矩阵满级。