Question

我最近接受了一次采访，在那里我被问到以下算法问题。我无法找到O（n）解决方案，也无法找到谷歌的问题。

给定一个整数的数组A [a_0 ... a_（n-1）]（+ ve和-ve）。形成一个数组M [m_0 ... m_（n-1）]其中m_0 = 2，m_i在[2，...，m_（i-1）+1]中这样产品总和最大，即我们必须最大化a_0 * m_0 + a_1 * m_1 + ... + a_（n-1）* m_（n-1）

示例

input  {1,2,3,-50,4}
output {2,3,4,2,3}

input  {1,-1,8,12}
output {2,3,4,5}

我的O（n ^ 2）解决方案是从m_0 = 2开始并且只要a_i是+ ve就继续递增1。如果a_i＆lt; 0我们必须考虑从2到m_i-1 + 1的所有m_i，并查看哪一个产生最大乘积之和。

请建议线性时间算法。

Answer 1

假设您有以下数组：

1, 1, 2, -50, -3, -4, 6, 7, 8.

在每个条目中，我们可以继续递增进度或将值重置为较低的值 这里只有两个不错的选择。我们要么选择当前条目的最大可能值，要么选择最小值（2）。（最后的证明）

现在很清楚，输出中的前3个条目应为2,3和4（因为到目前为止所有数字都是正数，没有理由将它们重置为2（低值）。

遇到否定录入时，计算总和：
-(50 + 3 + 4) = -57。

接下来计算后续+ ve连续数字的相似总和 (6 + 7 + 8) = 21。

由于57大于21，因此将第4个条目重置为2是有意义的。

再次计算否定条目的总和：
-(3 + 4) = -7。

现在7小于21，因此不再重置是有道理的，因为如果正值很高，则应获得最大乘积。

输出数组应为：

2, 3, 4, 2, 3, 4, 5, 6, 7

要使此算法在线性时间内工作，您可以预先计算计算中所需的总和数组。

<强>证明：

当遇到负数时，我们可以将输出值重置为低值（比如j）或继续我们的增量（比如说i）。

假设有k -ve值且m为正值。

如果我们将值重置为j，那么这些k -ve值和m + ve值的乘积值应等于：

- ( (j-2+2)*a1 + (j-2+3)*a2 + ... + (j-2+k+1)*ak ) + ( (j-2+k+2)*b1 + (j-2+k+3)*b2 + ... + (j-2+k+m+1)*am )

如果我们不将值重置为2，那么这些k -ve值和m + ve值的乘积值应等于：

- ( (i+2)*a1 + (i+3)*a2 + (i+4)*a3 ... + (i+k+1)*ak ) + ( (i+k+2)*b1 + (i+k+3)*b2 + ... + (i+k+m+1)*am )

因此，上述两个表达式之间的区别是：

(i-j+2)* ( sum of positive values - sum of negative values )

此数字可以是正数也可以是负数。因此，我们倾向于使j尽可能高（M [i-1] +1）或尽可能低（2）。

在O（N）时间内预先计算总和数

编辑：正如Evgeny Kluev指出

向后遍历阵列。
如果遇到负面元素，请忽略它。
如果遇到正数，请将后缀和等于该值。
继续将元素的值添加到总和中，直到它保持为正。
一旦总和变为＆lt; 0，注意这一点。这就是我们将重置决定分为2并继续增量的观点。
再次忽略所有负值，直到达到正值。
继续重复直到到达阵列的末尾。

注意：在计算后缀总和时，如果我们遇到零值，那么可以有多个这样的解决方案。

Answer 2

感谢Abhishek Bansal和Evgeny Kluevfor的伪代码。这是Java中的代码。

 public static void problem(int[] a, int[] m) {
        int[] sum = new int[a.length];
        if(a[a.length-1] > 0)
          sum[a.length-1] = a[a.length-1];
        for(int i=a.length-2; i >=0; i--) {
          if(sum[i+1] == 0 && a[i] <= 0) continue;
          if(sum[i+1] + a[i] > 0) sum[i] = sum[i+1] + a[i];
        }
        //System.out.println(Arrays.toString(sum));
        m[0] = 2;
        for(int i=1; i < a.length; i++) {
          if(sum[i] > 0) {
            m[i] = m[i-1]+1;
          } else {
            m[i] = 2;
          }
        }
      }

给定阵列A，形成阵列M，使得乘积之和（a1 * m1 + ... + an * mn）最大

2 个答案: