使用scipy积分tplquad来评估多元高斯的三重积分

Question

我正在尝试执行以下三重积分：

f（v）是3变量高斯概率密度函数。

合成速度V的大小必须小于某个Vmax（因此Vx，Vy和Vz各自的范围可以从0或-Vmax到+ Vmax，但如果Vx = Vmax则Vy和Vz必须为零，例如）。

现在我们可以使用sigma = 1.我现在也会忽略积分内的除法，所以我只是整合了f（v）。

我一直在尝试使用scipy.integrate tplquad函数，但仍然得到一个数量级为1e-7的答案，并且提供的Vmax足够大（我使用Vmax = 500）积分应接近因为所有（速度）空间的概率都是1。

这是我的代码：

from scipy.integrate import tplquad
from numpy import pi, exp, sqrt

def func(Vz,Vy,Vx):
    return sqrt( (1/(sigma*2*pi)**(3/2)) ) * exp( - ( ((Vx**2)/2) + ((Vy**2)/2) + ((Vz**2)/2) ) )

def Vymax(Vx):
    return sqrt(Vmax**2 - Vx**2)

def Vzmax(Vx,Vy):
    return sqrt(Vmax**2 - Vx**2 - Vy**2)

Vmax = 500
sigma = 1

integral = tplquad(func,0,Vmax,lambda a: 0, Vymax,lambda a, y: 0, Vzmax)
print(8*integral[0])

输出：

>>> (executing cell "Triple integral a..." (line 15 of "Integral4.py"))
1.4644282619462532e-07
>>>

Vymax和Vzmax功能是将Vy和Vz值保持在范围内，以使合成速度不超过Vmax。我在tplquad中使用lambda函数为0，因为tplquad需要一个函数作为第4个参数的输入。

我无法看到我出错的地方，但我确信我一定会错过一些简单或完全愚蠢的事情。

如果tplquad不是这个问题的正确功能，还有替代方案吗？我甚至乐于编写自己的函数，但我不确定最好的方法是什么 - 我尝试了蒙特卡罗方法，但无法弄明白。我不能单独分离组件，因为最终我需要一个偏移Vx + Voffset，因此它不再以原点为中心。我尽可能多地在这里搜索并遇到this，但它没有正确描述如何进行多变量高斯，因为问题是（意味着）关于单变量高斯。

任何帮助都非常感激。

感谢。

Answer 1

multivariate normal distribution的公式不正确。在指数系数的幂中，sqrt调用，和的因子为1/2。您在指数中也缺少1 / sigma ** 2因子。

以下是修改后的版本，使用sigma的方式与问题中显示的公式相符：

def func(Vz,Vy,Vx):
    return (1.0/(sigma**2*2*pi)**(3./2)) * exp( - ( ((Vx**2)/2) + ((Vy**2)/2) + ((Vz**2)/2) )/sigma**2 )

添加print语句以打印sigma的值后，我得到：

In [28]: run tplquad_question.py
sigma = 1
8*integral[0] = 1.00000000196

编辑脚本并再次运行：

In [29]: run tplquad_question.py
sigma = 2.5
8*integral[0] = 1.00000000927

以下是完整的tplquad_question.py：

from __future__ import print_function, division

from scipy.integrate import tplquad
from numpy import pi, exp, sqrt

def func(Vz,Vy,Vx):
    return (1.0/(sigma**2*2*pi)**(3./2)) * exp( - ( ((Vx**2)/2) + ((Vy**2)/2) + ((Vz**2)/2) )/sigma**2 )

def Vymax(Vx):
    return sqrt(Vmax**2 - Vx**2)

def Vzmax(Vx,Vy):
    return sqrt(Vmax**2 - Vx**2 - Vy**2)

Vmax = 500
sigma = 1

integral = tplquad(func,0,Vmax,lambda a: 0, Vymax,lambda a, y: 0, Vzmax)

print("sigma =", sigma)
print("8*integral[0] =", 8*integral[0])