我的代码的时间复杂度是log（n）吗？

Question

方法foo将带有不同数字的排序列表作为参数，并返回所有出现次数的计数：i == list[i]（其中i是索引0 <= i <= len(list)）。

def foo_helper(lst, start, end):

    if start > end:
        # end of recursion
        return 0

    if lst[end] < end or lst[start] > start:
        # no point checking this part of the list
        return 0

    # all indexes must be equal to their values
    if abs(end - start) == lst[end] - lst[start]:
        return end - start + 1

    middle = (end + start) // 2

    print(lst[start:end+1], start, middle, end)

    if lst[middle] == middle:
        #print("lst[" , middle , "]=", lst[middle])
        return 1 + foo_helper(lst, middle+1, end) + foo_helper(lst, start, middle-1)


    elif lst[middle] < middle:
        return foo_helper(lst, middle+1, end)
    else:
        return foo_helper(lst, start, middle-1)

def foo(lst):
    return foo_helper(lst, 0, len(lst)-1)

我的问题是这段代码的最坏情况复杂性 = log（n）？
如果没有，我应该做些什么？

Answer 1

如果您有一个N个数字的列表，这些数字都是唯一的，并且已知有待排序，那么如果list[0] == 0和list[N-1] == N-1，则唯一性和排序属性会指示整个列表符合list[i] == i的财产。这可以在O(1)时间确定 - 只需检查第一个和最后一个列表条目。

唯一性和排序属性强制任何列表具有三个单独的区域 - 可能为空的前缀区域list[i] < i，可能为空的中间区域list[i] == i，以及可能为空的后缀区域，其中list[i] > i] 1}}。在一般情况下，找到中间区域需要O(n)时间 - 从前面扫描以找到list[i] == i的第一个索引，并从后面扫描以找到最后一个这样的索引（或者你可以用一次正向扫描做两件事。一旦找到了这些，就可以通过唯一性和顺序来保证，它们之间的所有索引都具有相同的属性......

编辑：正如下面@tobias_k所指出的那样，你也可以进行二分搜索，找到两个终点，即O(log n)而不是O(n)。如果您的输入完全一般，这将是更好的选择。

Answer 2

扩展我的评论，试图考虑这个问题。考虑身份函数的图表，它代表索引。我们想知道这个排序列表（严格单调函数）与表示索引y = x的线相交的位置，仅考虑整数位置。我认为你应该能够在O（n）时间内找到它（正如所评论的那样，似乎二元搜索交叉边界应该有效），尽管我需要更仔细地查看你的代码以了解它正在做什么。

因为我们有一个包含唯一元素的排序列表，所以我们在任何地方都有i == list[i]

在一个地方

或者如果有多个地方，他们必须是连续的（一旦你在线以上就永远不能回来）

使用的代码：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
a = np.unique(np.random.randint(-25, 50, 50))
indices = range(len(a))
plt.scatter(indices, indices, c='b')
plt.scatter(indices, a, c='r')
plt.show()