Tetromino空间填充：需要检查是否可能

Question

我正在编写一个程序，需要快速检查一个连续的空间区域是否可由四联骨牌（任何类型，任何方向）填充。我的第一个尝试是简单地检查方块的数量是否可被4整除。但是，这种情况仍然会出现：

正如你所看到的，尽管这些区域各有8个方格，但它们不可能用四联体进行平铺。

我一直在思考，我不知道该怎么办。在我看来，“枢纽”正方形或通往两个以上“隧道”的正方形是关键。在上面的示例中很容易，因为您可以快速计算每个此类隧道中的空间 - 第一个示例中的3,1和3，以及第二个中的3,1,1和2 - 并确定无法继续由于每个隧道需要连接到集线器方块以适应tetromino，这对所有隧道都不会发生。但是，您可以使用更复杂的示例：

...简单的计数技术不起作用。 （至少，就我所知。）而这就更不用说具有极少数轮毂方块的更多开放空间。另外，我没有任何证据证明中心方块是唯一的技巧。据我所知，可能还有很多其他不可能的案例。

某种搜索算法（A *？）是解决此问题的最佳选择吗？我非常关注数百甚至数千个方块的性能。该算法需要非常高效，因为它将用于实时平铺（或多或少），并在浏览器中使用。

Answer 1

完美匹配的完美匹配

[编辑28/10/2014：正如pix所注意到的，这种方法从不尝试使用T-tetromino，所以它更可能给出一个不正确的“No”答案，而不是我想的......]

这不能保证任意形状的解决方案，但它在大多数情况下都能快速有效地工作。

想象一个graph，其中每个白色方块都有一个顶点，当且仅当它们相应的白色方块相邻时，两个顶点之间有一条边。 （因此，每个顶点最多可以触摸4个边。）此图中的perfect matching是边的子集，因此每个顶点都恰好接触子集中的一个边。换句话说，它是一种配对相邻顶点的方式 - 或者换句话说，是白色方块的多米诺骨牌。稍后我将解释如何找到一个随意的完美匹配;现在，让我们假设它可以完成。

然后，从这个多米诺骨牌拼贴开始，我们可以重复匹配过程，将多米诺骨牌粘合在一起进入tetrominos！第二次唯一的区别是，不是每个白色方块有一个顶点，而是每个多米诺骨牌有一个顶点;因为我们必须在两个多米诺相邻时添加一条边，一个顶点现在可以有多达6个边。

第一步（多米诺骨牌）步骤不能失败：如果存在给定形状的多米诺骨牌，则会找到一个。然而，第二步（将多米诺骨牌混合成tetrominos）有可能失败，因为它必须与已经决定的多米诺骨牌平铺一起工作，这可能会限制其选择。这是一个示例，显示相同形状的不同多米诺骨牌如何能够或破坏tetromino拼贴：

AABCDD   -->   XXXYYY   Success :)
  BC             XY

AABBDD   -->   Failure.
  CC

解决最大匹配问题

为了生成多米诺骨牌的随机模式，可以给图中的边缘赋予随机权重，并且可以求解最大加权匹配问题。权重应该在[1，V /（V-2））的范围内，以保证通过使一些顶点不成对而永远不可能获得更高的分数。该图实际上是二分的，因为它不包含奇数长度周期，这意味着用于最大加权二分匹配问题的更快的O（V ^ 2 * E）算法可用于该步骤。 （对于第二个匹配问题，情况并非如此：一个多米诺骨牌可以触及另外两个相互接触的多米诺骨牌。）

如果第二步未能找到一套完整的tetrominos，那么要么无法解决*，要么可以使用不同的多米诺骨牌解决方案。您可以尝试随机重新加权用于查找多米诺骨牌的图形，然后重新运行第一步。或者，不是从头开始重新加权，而是可以增加有问题的多米诺骨牌的权重，然后再试一次。

*对于边长均匀的普通方形，我们知道解决方案总是可行的：只需填充2x2方形tetrominos。