Question

我必须在MATLAB中求一个线性方程组A*x=B，其中A是对称的，其元素取决于索引的差异：Aij=f(i-j)。

我使用迭代求解器，因为A的大小是40000x40000。迭代求解器需要确定产品A*x，其中x是测试解决方案。对此产品的评估结果证明是卷积，因此可以通过快速傅里叶变换（cputime~ Nlog(N)而不是N^2）来完成。我对这个问题有以下问题：

是这个卷积循环吗？因为如果它是循环的，我认为我必须使用新矩阵的特定索引来获取fft。是对的吗？
我发现很难为fft编写例程，因为我无法理解我应该使用的索引。是否有任何现成的例程我可以用fft直接评估产品A*x而不是卷积？实际上，矩阵A由3×3块构成并且是对称的。产品A*x的现成例程对我来说是最好的解决方案。
如果没有现成例程，您能否通过示例给我一个想法如何构建此例程以通过fft评估矩阵向量乘积？

提前谢谢你，

帕诺斯

Answer 1

非常好又有趣的问题！ :) 对于某些特殊的矩阵结构，Ax = b问题可以很快得到解决。

循环矩阵。

对应于循环卷积的矩阵Ax = h*x（* - 是卷积符号）被对角化傅里叶域，可以通过以下方法解决：

x = ifft(fft(b)./fft(h));

三角形和带状。

解决了三角矩阵和对角占优势的带状矩阵通过稀疏LU分解有效：

[L,U] = lu(sparse(A)); x = U\(L\b);

泊松问题。

如果A是拉普拉斯算子的有限差分近似，则问题可以通过多重网格方法有效地解决（例如，网络搜索“matlab multigrid”）。

Answer 2

有趣的问题！

除非您施加其他条件，否则卷积在您的情况下不是循环的。例如，A(1,3)应该等于A(2,1)等等。

您可以使用conv（仅保留带有选项valid的非零填充部分），这可能也是N * log（N）。例如，让

A = [a b c d
     e a b c
     f e a b
     g f e a];

然后A*x与

相同

conv(fliplr([g f e a b c d]),x,'valid').'

或者更一般地说，A*x与

相同

conv(fliplr([A(end,1:end-1) A(1,:)]),x,'valid').'

Answer 3

我想对Pio_Koon的答案添加一些评论。

首先，我不建议遵循三角形和带状矩阵的建议。在大型稀疏矩阵上调用Matlab的lu()过程所花费的时间大大超过了将线性系统解析为x=U\(L\b)所获得的任何好处。

其次，在 Poisson问题中，您最终会得到一个循环矩阵，因此您可以使用所描述的FFT来解决它。在这种特定情况下，卷积模板h是拉普拉斯算子，即h=[0 -0.25 0; -0.25 1 -0.25; 0 -0.25 0]。