将随机扩展添加到方向向量

Question

假设我有一个单位向量a =向量（0,1,0），我想在x =向量（-0.2,0，-0.2）和y =向量（0.2， 0,0.2），我该怎么做呢？

如果我只想在x和y之间生成一个随机向量，我会在一个正方形的边界内得到一个值：

我想要的是由x和y组成的圆圈内的值：

这似乎是一个简单的问题，但我现在无法找到解决方案。任何帮助将不胜感激。

（我没有在mathoverflow上问这个，因为这不是'研究水平的数学问题'）

Answer 1

如果我正确地阅读了你的问题，你想要一个在特定长度（圆的半径）内的随机方向的矢量。

圆的公式为： x ² + y ² = r ²

所以，如果你有一个最大半径， r ，这会限制向量​​长度，也许会这样做：

1. 选择 x 的随机值，位于 -r 和 + r
之间
2. 根据您选择的 x 计算随机化 y 的限制，因此 y _lim = sqrt（r ² - x ² ）
3. 最后，在 -y _lim 和 + y _lim 之间选择 y 的随机值

这样，您在 x 中获得随机方向，在 y 中获得随机方向，但矢量长度将保持在 0 之内 r 等将被限制在该半径的圆圈内。

在您的示例中，似乎 r 应为 sqrt（0.2 ² ），大​​约 0.28284

更新

因为3D矢量的长度（或幅度） sqrt（x ² + y ² + z ² ）你可以将技术扩展到3D，虽然我可能更喜欢不同的方法（也适用于2D）。

1. 选择任意 x ， y 和 z
选择随机方向
2. 计算幅度 m = sqrt（x ² + y ² + z ² ）
3. 规范化方向向量（通过将每个元素除以其大小），因此 x = x / m ， y = y / m ， z = z /米
4. 现在选择 0 和 r
之间的随机长度 L
5. 按随机长度缩放方向向量。所以 x = x * L ， y = y * L ， z = z * L