Question

我在这里看过类似的问题，但是无法让数学运算起来。

我有一个圆圈，圆周上有两个已知点（x1，y1，x2，y2），圆心为cx，cy

如果我站在cx，cy并且看着点x1，y1我怎么能告诉我需要转向哪个方向面对x2，y2？

到目前为止，我正在研究每个点的角度

Atan（（cx-x1）/（cy-y1））阿坦（（cx-x2）/（cy-y2））

然后我尝试了一个简单的减法，使用mod来确保它们都在-2pi和2pi之间，但我得到了一些奇怪的答案。当两个点位于通过中心点绘制的水平线的上方和下方时，会出现奇怪的结果。

但是说实话，我已经尝试了很多东西，现在我的头疼了！它不一定是计算速度快的解决方案，因为它只执行一次。提前谢谢。

Answer 1

答案是(x1-cx)(y2-cy) - (y1-cy)(x2-cx)的标志。

<强>证明：

让A成为从C到(x1,y1)的方向，表示为从X轴逆时针测量的角度; B是从C到(x2,y2)的方向，表达方式相同;并且r是圆的半径。然后(x2,y2)位于(x1,y1)的右侧，如C所示，如果A-B介于0和pi之间或介于-2pi和-pi之间（即，如果sin(A-B)如果A-B介于-pi和0之间，或介于pi和2pi之间（即sin(A-B)为负数），则为左侧。

现在，

(x1,y1)=(Cx + r cos A, Cy + r sin A) 
(x2,y2)=(Cx + r cos B, Cy + r sin B)

所以

  (x1-Cx)(y2-Cy) - (y1-Cy)(x2-Cy) 
= (r cos A)(r sin B) - (r sin A)(r cos B)    
= - r^2 (sin A cos B - cos A sin B)
= - r^2 (sin (A-B))

与sin (A-B)符号相反。

Answer 2

假设A1是(cx, cy)到(x1, y1)的向量与水平轴之间的角度，A2是来自{{1}的向量之间的角度} (cx, cy)和水平轴。当您坐在(x2, y2)处并查看(cx, cy)点时，点(x1, y1)位于您的右侧，当且仅当两个矢量之间的角度小于(x2, y2)且当且仅当角度大于pi时才在左侧。

由于正角度的正弦从pi到0为正，而pi为负pi，因此该点位于右侧iff 2*pi和左侧iff sin(A2-A1) > 0。

如果我们使用通常的trigonometric identity，我们就有了

sin(A2-A1) < 0

然后你只需用笛卡尔坐标用公式替换正弦和余弦。因为这些点位于一个圆上，所以分母被考虑在内。

因此sin(A2-A1) = sin(A2) * cos(A1) - sin(A1) * cos(A2)的符号与sin(A2-A1)的符号相同。

如何判断一个点是否是另一个点的左侧或右侧

2 个答案: