在有向图中查找所有根

Question

我需要找到一种算法，用于在有向图中找到所有根，在O（n + m）中。

我有一个查找单根的算法：

1. 在V中的某些v上运行DFS（v）。如果结果是单个生成树，则v是根。否则，结果就是一片树林。然后：
2. 在最后一棵树的根目录上运行DFS（u）。如果结果是单个生成树，则u是根。否则，图表中没有根。

现在，如果我想找到所有的根，那么每次在最后一棵树的不同顶点上运行上述算法O（n）次的最佳方法是什么？假设我找到了一个根，如果存在另一个根，那么它必须在最后一棵树上，那么如果我继续运行上述算法直到收到“没有根存在”或者直到遍历所有顶点，那么它是O（n + m）吗？

提前致谢！

Answer 1

两种方法：

1. 反转图形并计算DFS-loop（）并记下没有外边缘的顶点（如Abhishek所说）。

2. 更高效 - 在图表上运行DFS-loop（）并使用true，false表跟踪没有传入边的顶点。

在最坏的情况下，方法1需要两倍的时间。

Answer 2

首先，您应该在图表中找到所有强关联组件。要在更精简的时间内构建它，您可以使用Kosaraju's algorithm或Tarjan's algorithm。所有根应位于一个这样的组件中。接下来，您会发现没有传入边缘的强连接组件。如果您有多个这样的组件，则图形没有根顶点。在您只有一个组件的情况下，您应该检查是否可以从中获取其他组件，在这种情况下，此组件包含图中的所有根。

旧变种。

您应该计算到顶点的传入边数，这可以在O（m）中完成。所有具有零个入射边的顶点都将是图的根，为此您将需要O（n）时间。