当每个级别具有不同数量的节点时，计算树中的节点数

Question

让我们说我们这种树： http://up400.siz.co.il/up1/tymmh2wylmmo.png

当树的高度为H时，树中的每个级别可以有不同数量的节点。 例如，根级别有3个节点（图中“x”），下一级每个节点有2个节点（图中“y”），下一级每个节点有4个节点（图中“z”） ），等等......

当给出H时，是否存在计算这类树的公式，并且给出了节点数（对于每个节点）？

谢谢！

Answer 1

递归公式很明显：

def node_count(level):
    n = number_of_children_for_level(level)
    if n == 0:
        return 1
    else:
        return 1 + n * node_count(level + 1)

假设级别的子级数为3, 4, 2, 0，则节点总数将为

1 + 3 * (1 + 4 * (1 + 2 * 1))

Answer 2

如果树已完成，那么......

• 每个叶子下面的子树有1个节点。
• 每个第二级节点下面的子树有1 * 4 + 1 = 5个节点。
• 每个第三级节点下面的子树有5 * 2 + 1 = 11个节点。
• 完整的树有11 * 3 + 1 = 34个节点。

因此通用公式为（（（（m + 1）* n + 1）... * p + 1）* q + 1），其中m ... q是每个级别上的节点数。或者你可以递归地说size_n = size_{n - 1} * branchiness_n + 1。