Question

我想知道在研究二叉搜索树时出现的两个问题。它们如下：

具有n个节点的平衡二叉搜索树的底层中的最大节点数是多少？

具有n个节点的平衡二叉搜索树的底层中的最小节点数是多少？

我在教科书中找不到任何关于此的公式。有没有办法回答这些问题？请告诉我。

Answer 1

假设它是完整二叉树，叶子中的节点数总是等于(n/2)+1。

对于最小节点数，节点总数可以是1（满足它应该是平衡树的条件）。

Answer 2

我得到了我教授的答案。

1）最后一级的最大节点数：⌈n/2⌉

如果存在具有7个节点的平衡二叉搜索树，则答案为⌈7/2⌉= 4，对于具有15个节点的树，答案为⌈15/2⌉= 8。   但令人不安的是，只有当平衡树的最后一级从左到右填充完全时，此公式才会给出正确的答案。   例如，具有5个节点的平衡二叉搜索树，上面的公式给出3的答案，这是不正确的，因为具有5个节点的树可以包含最后一级的4个节点的最大节点。 所以我猜他的意思是完全平衡的二叉搜索树。

2）最后一级的最小节点数： 1

Answer 3

使用符号：

H =平衡的二叉树高度
L =高度为H的完整二叉树中的叶子总数。
N =高度为H的完整二叉树中的节点总数。

该关系为L = (N + 1) / 2，如下所示。对于给定的树高H，这将是叶节点的最大数量。给定高度的最小节点数为1（不能为零，因为树的高度将减少一）。

在绘制高度不断增加的树木时，可以观察到：

H = 1, L = 1, N = 1
H = 2, L = 2, N = 3
H = 3, L = 4, N = 7
H = 4, L = 8, N = 15
...

树高（H）与叶子总数（L）之间的关系并且节点总数（N）显而易见：

L = 2^(H-1)
N = (2^H) - 1

使用数学归纳法可以轻松证明其正确性。

上面的示例表明，对于小型H，它是正确的。只需输入H的值（例如H=1）并计算L和N。假设公式对某些H是正确的，则可以证明它们对HH=H+1也正确：

对于L，假设L=2^(H-1)为真。由于每个节点都有两个子节点，因此高度增加一个将有效地用两个新叶子替换每个叶子节点叶片总数加倍。因此，对于HH=H+1，树叶总数（LL将增加一倍：

LL = L * 2
   = 2^(H-1) * 2
   = 2^(H)
   = 2^(HH-1)

对于N，假设N=(2^H)-1为真。将高度增加一（HH=H+1）会增加总数节点数（按已添加叶节点的总数）。因此，

NN = N + LL
   = (2^H) - 1 + 2^(HH-1)
   = 2^(HH-1) - 1 + 2^(HH-1)
   = 2 * 2^(HH-1) - 1
   = (2^HH) - 1

应用数学归纳法，证明了其正确性。

H可以用N来表示：

N = (2^H) - 1        // +1 to both sides
N + 1 = 2^H          // apply log2 monotone function to both sides
log2(N+1) = log2(2^H)
          = H * log2(2)
          = H

L和N之间的直接关系（是所问问题的答案）是：

L = 2^(H - 1)                 // replace H = log2(N + 1)
  = 2^(log2(N + 1) - 1)
  = 2^(log2(N + 1) - log2(2))
  = 2^(log2( (N + 1) / 2 ))
  = (N + 1) / 2

对于Big O分析，常量将被丢弃，因此二进制搜索树查找时间复杂度（即，相对于输入大小H的{{1}}）为N。另外，请记住更改对数底数的公式：

O(log2(N))

并丢弃常数因数log2(N) = log10(N) / log10(2)，而不是1/log10(2)可以具有任意对数底数，而时间复杂度仅为10，而与选择的对数底数常数无关。

Answer 4

二叉树中级别L的节点的最大数量为2^L（如果您假设顶点为0级）。这很容易看到，因为在每个级别，您会从前一个叶子中生成2个孩子。它是平衡/搜索树的事实是无关紧要的。因此，您必须找到L这样的最大2^L < n并从n中减去它。在数学语言中是：

节点的最小数量取决于您平衡树的方式。可以有高度平衡的树木，重量平衡的树木，我假设其他平衡的树木。即使使用高度平衡的树木，您也可以定义平衡树的含义。因为从技术上来说，2^N节点的树高度为N + 2仍然是一棵平衡的树。

平衡二叉树底层中的节点数

4 个答案: