计算最大子序列和的时间复杂度

Question

大家好我试图计算最大子序列总和的时间复杂度。 其实我知道答案是O（n ^ 3），它来自函数（n ^ 3 + 3n ^ 2 + 2n）/ 6

我的问题是如何获得该功能。

Answer 1

很简单，实际上：只需查看代码中的循环。

for (int i=0; i<n; i++)
    for(j = i; j<n; j++) {
        ...
        for (int k=i; k<=j; k++)
            XXX;

行XXX执行n^3次（以n的一些常数因子和一些较低幂为模），因为外环明显从0运行到{{ 1}}，“中间”循环从n-1（从i开始，0，...）到1，意味着内循环将“开始”大约n-1次。现在，n^2和i都取决于j（例如，n将i和0位于第一个外部的末尾迭代），因此行j=n-1将XXX次（对于内循环）n次（对于外部两个循环），导致总共n^2。

要获得具体功能n^3，您必须在计算中更加彻底，并处理我上面忽略的所有因素。

Answer 2

以下是......

i=0
j=0 k=0              (count=1 )
j=1 k=0,1            (count =2)
j=2 k=0,1,2          (count = 3)
...
j=n-1 k=0,1,2,...n-1  (count = n)

Total number of times code executed = 1+2+3+...+n =  n(n+1)/2

i=1
j=1 k=1              (count=1 )
j=2 k=1,2            (count =2)
j=3 k=1,2, 3          (count = 3)
...
j=n-1 k=1,2,...n-1  (count = n-2)

Total number of times code executed = 1+2+3+...+n-1 =  (n-1)n/2

...

i=n-1
j=n-1 k=n-1     ( count = 1)
Total number of  of times code executed = 1 = 1(1+1)/2


 Now if we sum for all the values of i

 n(n+1)/2 + ((n-1)((n-1)+1)/2+.....+1(1+1)/2

 =∑ N(N+1)/2 =1/2∑(N^2 +N) =1/2(∑N^2+∑N)=1/2{  1/6  N(N+1)(2N+1) + 1/2 N(N+1) } =1/2{ (2N^3 + 3N^2+N )/6 +(N^2+N)/2} =(N^3 + 3N^2 + 2N)/6

Answer 3

检查Mark Allen Weiss（在他的书中）建议的this solution。