我正在研究光线跟踪器的数学运算，但我并没有按照我在这个主题上阅读的每篇文章进行过渡。这就是我所拥有的：
球体公式：
（X - Cx）^ 2 +（Y - Cy）^ 2 +（Z - Cz）^ 2 - R ^ 2 = 0
其中R是半径，C是中心，X，Y，Z是球体中的所有点。
一条线的公式：
X + DxT，Y + DyT，Z + DzT
其中D是线的标准化方向向量，X，Y，Z是线上的所有点，T是线上某点的参数。
通过将线的分量代入球面方程，我们得到：
（X + DxT - Cx）^ 2 +（Y + DyT - Cy）^ 2 +（Z + DzT - Cz）^ 2 - R ^ 2 = 0
我遵循一切到目前为止（至少我认为我这样做），但是我读过的每个教程都会从那里跳到二次方程而不解释它（这是从其中一个网站复制的，所以这些术语与我的例子略有不同）：
A = Xd ^ 2 + Yd ^ 2 + Zd ^ 2
B = 2 *（Xd *（X0-Xc）+ Yd *（Y0-Yc）+ Zd *（Z0-Zc））
C =（X0-Xc）^ 2 +（Y0-Yc）^ 2 +（Z0-Zc）^ 2-Sr ^ 2
我得到了如何使用二次公式求解T，但我不明白他们如何从上面的公式得到二次方程。我假设这只是我早已忘记的一些常见数学知识，但谷歌搜索“如何设置二次方程式”并没有真正产生任何东西。
我真的很想在继续之前了解如何进入这一步，因为我不喜欢编写我不完全掌握的代码。
答案 0 :(得分：14)
这是每个步骤的详细演练;希望这会使事情变得清晰。三维球的方程是：
(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2
以<a, b, c>为球体的中心，r为半径。如果满足这个等式，则<x, y, z>点在球体上。
射线的参数方程是：
X = xo + xd*t Y = yo + yd*t Z = zo + zd*t 其中<xo, yo, zo>是光线的原点，而<xd,yd,yd>是相机光线的方向。
要找到交点，我们希望看到光线上的哪些点与球体上的点相同。因此，我们将射线方程代入球面方程：
(xo + xd*t - a)^2 + (yo + yd*t - b)^2 + (zo + zd*t - c)^2 = r^2
扩展为：
(xd^2 + yd^2 + zd^2) * t^2 +
[2[xd * (xo - a) + yd * (yo - b) + zd *(zo - c)]] * t +
[(xo - a)^2 + (yo - b)^2 + (zo - c^)2 - r^2] * 1
= 0
请注意，这是At^2 + Bt + C = 0形式的二次方程式，其中包含：
A = (xd^2 + yd^2 + zd^2) B = [2[xd * (xo - a) + yd * (yo - b) + zd *(zo - c)]] C = [(xo - a)^2 + (yo - b)^2 + (zo - c^)2 - r^2] 我们可以将一般二次公式应用于未知变量，即：
t = [-B +- sqrt(B^2 - 4AC)] / 2A
B^2 - 4AC部分称为“判别式”。根据判别式的值，我们将得到这个等式的零个，一个或两个解：
如果它小于零，则解是一个虚数，并且光线和球体不会在实际平面上相交。
如果它等于零，那么光线恰好与球体相交1点（它与球体正好相切）。
如果它大于零，那么光线恰好在2点与球体相交。
如果判别式表明没有解决方案，那么你已经完成了！光线不与球体相交。如果判别式指示至少一个解，则可以求解t以确定交点。这两种解决方案是：
t_1 = [-B + sqrt(B^2 - 4AC)] / 2A
t_2 = [-B - sqrt(B^2 - 4AC)] / 2A
较小的解决方案是射线首先击中球体的点。
答案 1 :(得分：8)
从这里开始：
(X + DxT - Cx)^2 + (Y + DyT - Cy)^2 + (Z + DzT - Cz)^2 - R^2 = 0
扩展三个平方项，所以你有一个长表达式：
X^2 + Dx^2T^2 + Cx^2 + 2XDxT - 2XCx - 2DxTCx + ...... = 0
（这是由于使用公式(x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz）
然后分组，这样你就有了T ^ 2，T和1的因子：
(....)T^2 + (....)T + .... = 0
这些因素是上面给出的A，B，C。这是T的二次方程，可以使用二次公式求解。