最小切割使用matlab cvx

Question

我正在尝试使用用户图表上的二进制最小值来检测社区。为此，我试图使用Fiedler方法的变体，如this论文所示。这就是他们将其正式化的方式：

现在，我正在尝试使用matlab中的CVX包。这是我的代码：

tou = ((beta/ (e' * pi1 * e)) * tou1) + (((1 - beta) / (e' * pi2 * e)) * tou2);
n = 6;
cvx_begin
    variable y(n)
    minimize( y' * tou * y )
    subject to
        y' * pi1 * y == e' * pi1 * e
        y' * pi2 * y == e' * pi2 * e
        y' * pi1 * e == 0
        y' * pi2 * e == 0
cvx_end

但它显示以下错误：

Disciplined convex programming error:
Invalid constraint: {convex} == {real constant}

Error in ==> cvx.eq at 12
b = newcnstr( evalin( 'caller', 'cvx_problem', '[]' ), x, y, '==' );

Error in ==> fiedler at 16
y' * pi1 * y == e' * pi1 * e

这里A1是一个定义如下的矩阵：

A1 = [0 3 2 0 0 0; 3 0 3 1 0 0; 2 3 0 0 0 0; 0 1 0 0 4 2; 0 0 0 4 0 3; 0 0 0 2 3 0];

同样A2 = A1。

pi1是矩阵是对角矩阵，其值等于该特定行中A1的所有值的总和。这样做我得到了

pi1 = [5 0 0 0 0 0; 0 7 0 0 0 0; 0 0 5 0 0 0; 0 0 0 7 0 0; 0 0 0 0 7 0; 0 0 0 0 0 5];

相似，pi1 = pi2。

并且tou1 = pi1-A1，并且tou2 = pi2-A2。

有人可以指出我到底做错了什么。这将是非常有帮助的。提前谢谢！

Answer 1

这个问题就是你的约束

  y'* pi1 * y == alpha

（其中alpha = e'*pi1*e）不是凸约束。考虑二维情况，其中size（y）= [2 1]而pi1是身份，那么上面的约束是

       y(1)^2 + y(2)^2 == alpha

这相当于要求y位于圆的半径上。这不是凸约束。

CVX专为纪律凸优化而设计。这意味着您必须以确保模型凸起的方式从基元构建模型。由于您的模型包含一个非凸的约束，CVX会发出错误：“Disciplined convex programming error”。

它还告诉你问题：“无效约束{凸} == {实常数}”。这告诉你，你试图将凸函数约束为等于常数。

如果要使用CVX解决此模型，则需要将模型重新表示为凸。如果你不能重新制定它，你可以尝试使用非线性（非复合）求解器。例如，MATLAB中包含的fmincon应该能够处理这种约束。请注意fmincon是针对相当小规模的模型而设计的，对于大型非线性非coovex模型，您可能希望使用SNOPT或KNITRO等求解器。

Answer 2

对于原始问题，通常可以通过用＆lt; =替换等号（=）来放宽等式约束。大多数情况下，解决方案将满足相等约束（但不能保证）。

原始问题可以放松如下：

tou = ((beta/ (e' * pi1 * e)) * tou1) + (((1 - beta) / (e' * pi2 * e)) * tou2);
n = 6;
cvx_begin
 variable y(n)
 minimize( y' * tou * y )
 subject to
     y' * pi1 * y <= e' * pi1 * e
     y' * pi2 * y <= e' * pi2 * e
     y' * pi1 * e <= 0
     y' * pi2 * e <= 0
cvx_end

您需要验证解决方案（或选择其中一个解决方案）是否满足等式约束。 希望它适用于OP。