如何计算图灵机的运行时间？

Question

我只是回顾一下计算定理。我遇到了一个问题如下 考虑具有k-tape个状态的确定性q图灵机 和σ字母符号。假设这个图灵机在使用后停止 每个磁带上最多h个单元格。最长运行时间是多少？
为什么答案是q X(σ^hk)X(h^k)？ σ^hk和h^k是什么意思？谢谢！

Answer 1

关键的见解是，为了使图灵机停止，它不能进入​​循环。由于图灵机在处于特定状态后将始终遵循相同的顺序，如果它变为相同的状态两次，我们知道机器陷入无限循环并且永远不会完成。因此，它可以运行的理论最大步数是机器可能的不同状态的最大数量，而不是两次相同的精确状态。

在此示例中，唯一状态由以下组成：

1. 每个k磁带上的值（最多h个单元格），
2. 机器的当前状态（q种可能性中的1种），
3. 每个k机头的当前位置。

由于有σ个可能的符号，这意味着每个h磁带上的每个k单元格都可以是σ个可能值之一。所有磁带之间总共有hk个单元格，它们可以各自独立为σ个值之一。所以总的可能组合是σ^(h*k) - 这个地址是（1）。表达式字面意思是（可能的字母符号数）^（最大单元数*磁带数）。

对于（2），还有一个额外的q状态组合可以对每个磁带单元组合有效。这给理论上的最大值提供了q的额外因子。

对于（3），每个机头也可以独立地位于每个h磁带的k个可能的单元位置之一。这增加了h^k个可能状态的另一个因素。

因此，可能状态的总数是q * σ^(h*k) * h^k

的乘积

Answer 2

将您的图灵机视为线性有界自动机（LBA），它在h * k的范围内工作。我们首先考虑单个磁带机。

对于单个磁带LBA，如果LBA具有：

1）q在其磁带字母表中指出2）g个符号，以及3）长度为n的输入，

然后，单个磁带LBA的可能配置数为q * n * g^n。 Proof of halting problem on LBA

简单来说，对于单个磁带LBA，我们有g^n个可能的磁带，并且头部有n个可能的位置指向，q表示机器因此我们有q * n * g^n个配置。

要为k-tape机器推广它，有(g^n)^k个可能的磁带配置。所有磁带头都有n ^ k个可能的配置（因为您可以同时移动部分或全部磁带头），并且q表示机器可能处于可用状态。因此，不同配置的数量会然后是q * (n ^ k) * g^(nk)

将n更改为h，这实际上是单个磁带LBA的长度，g更改为σ，答案是肯定的。