迭代k层深循环嵌套的时间复杂度总是Θ（nᵏ）？

Question

许多算法都有循环，如下所示：

for a from 1 to n
  for b from 1 to a
    for c from 1 to b
      for d from 1 to c
        for e from 1 to d
           ...
           // Do O(1) work

换句话说，循环嵌套是k层深，外层从1循环到n，每个内层从1循环到它上面的索引。例如，这在代码中显示迭代数组内所有位置的k元组。

假设k是固定的，那么这段代码的运行时间总是Θ（n ^k ）？对于n = 1的特殊情况，工作是Θ（n），因为它只是数组上的标准循环，对于n = 2的情况，工作是Θ（n ² ），因为内循环完成的工作由

给出

  

0 + 1 + 2 + ... + n-1 = n（n-1）/ 2 =Θ（n ² ）

当k变大时，这种模式会继续吗？或者只是巧合？

Answer 1

是的，时间复杂度为Θ（n ^k ）。衡量此代码复杂性的一种方法是查看它生成的值。一个特别有用的观察是这些循环将遍历数组{1,2,3，...，n}的所有可能的k元素子集，并且将花费O（1）时间产生它们中的每一个。因此，我们可以说运行时由这些子集的数量给出。给定n元素集，k元素子集的数量为n选择k，其等于

  

N！ / k！（n - k）！

这是由

给出的

  

n（n-1）（n-2）...（n - k + 1）/ k！

这个值当然不会超过这个值：

  

n·n·n·...·n / k！ （带有k份副本）

     

= n ^k / k！

这个表达式是O（n ^k ），因为1 / k！ term是固定常数。

类似地，当n - k +1≥n/ 2时，该表达式大于或等于

  

（n / 2）·（n / 2）·......（n / 2）/ k！ （有k份n / 2）

     

= n ^k / k！ 2 ^ķ

这是Ω（n ^k ），因为1 / k！ 2 ^k 是固定常数。

由于运行时为O（n ^k ）和Ω（n ^k ），运行时为Θ（n ^k ）。< / p>

希望这有帮助！

Answer 2

您可以使用以下等式：

其中 c 是最里面循环内的常量时间操作数， n 是元素数， r 是数字嵌套循环。