Question

我总是无法分析随机算法的运行时间。如果有人能向我解释，我将不胜感激。

以我编写的以下代码为例;

它检查数组中至少发生n / 4次的元素。（n是数组的大小）。它从数组中选取一个随机数，检查它是否发生了n / 4次。如果是，则返回它。否则，它会删除所有出现的元素并继续。

假设数组中至少有一个这样的元素至少发生n / 4次。

elements_left = n ;

    frequency ( A[] )
      {
        k -> pick a random element from A[] ;
        int count = 0;
        int delete_count = 0;

        for (i=0 ; i < elements_left ; i++)
          {  
            if (a[i] = k)
                count++ ;
          }

        if (count >= n/4)
            return A[i] ;
            exit ;

        else
          {
            for (i=0 ; i < elements_left ; i++)
              {  
                if (A[i] = k)
                    delete (A[i]) ;
                    delete_count ++ ;
              }

            elements_left = n - delete_count ;
          }

        frequency (A[])
      }

这个算法的最坏情况运行时间和预期运行时间是什么？你将如何得出它？

感谢。

Answer 1

考虑这一点的一种方法如下：在算法的每次迭代中，您将进行O（n）工作以检查您随机选择的元素是否是您想要的元素。如果是这样，你就完成了。如果没有，您需要做一些工作来从阵列中删除该元素的所有其他副本。上面的伪代码并没有真正指定你是如何删除它们的（我不知道这意味着删除单个数组元素），但我会假设运行时是O（n），因为它可以删除那个时候元素的所有副本。

现在的问题是，在期望中需要多少回合才能找到元素？由于该元素具有被选择的概率的1/4，因此在期望时将需要4次尝试才能找到它。每次尝试都做Θ（n）工作 - 总是在n / 4和n个总元素之间 - 因此运行时期望值为Θ（n）（Θ（n）工作的四次迭代。）

希望这有帮助！

Answer 2

templatetypedef's answer描述了当元素出现n / 4次时的情况。

最坏情况下的运行时间为O（n ^ 2），如果所有项目都是唯一的，则会发生这种情况。

平均情况很难确定。假设数组包含100个项目。除了一个，它们都是独一无二的，它发生了15次。因此，您必须至少进行40次递归调用，以便为该单个项目删除足够的项目作为结果。但是在第一次迭代中，有15/100的机会你将删除最频繁的项目。下一次有15/99的机会等等。很有可能（几乎可以肯定）当你做出40次选择时，你会选择最频繁的项目并将其从数组中删除。

因此，如果您知道有一个元素出现n / 4次，则预期的运行时间为O（n）。否则，运行时高度依赖于项的分布，最坏的情况是运行时间为O（n ^ 2）。

用于查找频繁出现的元素的随机算法的时间复杂度？

2 个答案: