相对误差和摆动

Question

下面的完整背景是What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic的第8页。在下面说明“通常，当基数为b时，以ulps表示的固定相对误差可以摆动一个因子，最多为b。”

有人能详细证明这一点吗？它究竟是什么意思“以ulps表示的固定相对误差可以摆动多达b的因子。”;如果相对错误已修复那么它如何摆动或改变？

  

相对误差总是受e限制，这被称为机器epsilon。

     

...

     

说明两者之间的区别   ulps和相对误差，考虑真实   数字x = 12.35。它是近似的   由 = 1.24 x 10 ^ 1。误差为0.5 ulps;该   相对误差为0.8 e。接下来考虑一下   计算   8X。确切的值是8 x =   98.8，而计算值为8   = 9.92 x 10 ^ 1。错误现在是4.0 ulps，   但亲戚   错误仍然是0.8 e。该   以ulps测量的误差是八次   更大，即使相对误差是   相同。一般来说，当基数为b时，   固定的亲戚   以ulps表示的错误   可以摆动多达b倍。相反，如同eq。 （2）显示，固定误差   1/2 ulps导致相对误差   b。可以摇晃。

Answer 1

它与您给出的引号在同一页面上进行了演示，在“一般情况下，当基数为b时，以ulps表示的固定相对误差可以摆动多达b的因子。”

该段解释了从1.0000 ... 0•b ^e 到d.dddd ... d•b ^e 的数字，其中d是，正如我在这里使用的那样，数字b-1具有相同的ULP，因为ULP是最后一个数字的值，并且最后一个数字的值由b的指数（以及有效数字中的数字位数确定，这是固定的格式）。

这些数字跨越（几乎）b的比率，因为d.dddd ... d几乎是b，所以d.dddd ... d / 1几乎是b。但他们拥有相同的ULP。因此，一个ULP 相对的幅度跨越b的比率。

致辞2013年10月30日，编辑：

  

这究竟是什么意思“以ulps表示的固定相对误差可以摆动多达b的因子。”;如果相对误差是固定的，那么它如何摆动或改变？

该错误被认为是固定数量的ULP。但是，相对于浮点值，ULP的值不是固定的或常数是真正固定的或恒定的。

这里只有语言问题。将ULP称为“固定相对误差”并不准确。然而，人们有时会在ULP中表达误差范围或误差量，因为浮点数量值的性质是值，而那些量子是ULP。

ULP 大约相对错误。它在整个浮点格式范围内保持相同的范围。考虑一个三位十进制格式：

• 在1.00到9.99的间隔中，ULP的绝对值是.005。其相对于区间中数字的值的范围为.005到（几乎）.0005。
• 在1,000,000至9,990,000的区间内，ULP的绝对值为5,000。其相对于区间中数字的值的范围为.005到（几乎）.0005。
• 在1.00•10 ^-100 至9.99•10 ^-100 的区间内，ULP的绝对值为.005•10 ^{-100 < / SUP>。其相对于区间中数字的值的范围为.005到（几乎）.0005。}

如您所见，ULP相对于浮点数的值始终保持在一个小间隔内。因此，它用作相对误差的近似值。

浮点运算中的表达式相对误差以b为因子摆动来自两个数学事实：

• 当您使用浮点运算并计算或推导出可能出现的错误的证据时，您会发现自己以ULP为单位表示错误，因为浮点格式的量化会导致ULP中的界限或半个ULP。
• 对于浮点值x，x除以x的ULP值随着浮点格式的单个指数间隔中的x变化而变化b因子。当指数改变时，值ULP（x）/ x重置。