4D到3D透视投影

Question

我试图计算3D世界中4D点的位置。我从2D开始，尝试将其扩展到3D，然后再扩展到4D。首先，我发现它很容易计算线上2D点的投影位置。

Whoops, there should be () in the first equation: x/(a+y)

现在我发现，如果我将P（X，Y，Z）分割为P1（X，Z）和P2（Y，Z），计算它们的Q然后构建，则同样适用于3D世界P'点（Q1，Q2）（假设我从C（0，-a）点看Z轴正无穷大并渲染到XY平面）。

nx = (a*x)/(a+z);
ny = (a*y)/(a+z);

然后我认为它就像添加下一个点P3一样简单，并提出

nx = (a*x)/(a+z);
ny = (a*y)/(a+z);
nw = (a*w)/(a+z);

我觉得这很奇怪，因为W（新轴）实际上只影响最后一点的Z，并且指的是它应该影响所有尺寸......

这不起作用，所以我想问你是否可以提供一些我做错的细节。我很确定它的“点分裂”问题，方程应该更复杂。请不要用矩阵和四元数来攻击我。我只想在（0，-1）看一个简单的静态相机（0,0）......

感谢您的帮助！

Answer 1

• 在 2D （x，y）中，y = 0时的投影表示线与线的交点：
  

  x'/a = x/(a+y)
  

• 在 3D （x，y，z）中，z = 0处的投影表示直线与平面的交点：
  

  for y=0: x'/a = x/(a+z)
  for x=0: y'/a = y/(a+z)
  

4D （x，y，z，w）中的

• 投影到w = 0表示线与超平面的交点：
  

  for y=0, z=0: x'/a = x/(a+w)
  for x=0, z=0: y'/a = y/(a+w)
  for x=0, y=0: z'/a = z/(a+w)
  

• ......等等

或者，可以使用参数形式计算线和超平面的交点，其中一条线描述如下：

[px,py,pz,pw] = [p0x,p0y,p0z,p0w] + t * [p1x,p1y,p1z,p1w]

其中参数t是任意数字

超平面由：

描述

[hx,hy,hz,hw] = [h0x,h0y,h0z,h0w] + a * [h1x,h1y,h1z,h1w] + b * [h2x,h2y,h2z,h2w] + c * [h3x,h3y,h3z,h3w]

现在可以通过求解找到交点：

[px,py,pz,pw] = [hx,hy,hz,hw]

或更明确：

[p0x,p0y,p0z,p0w] + t * [p1x,p1y,p1z,p1w] = [h0x,h0y,h0z,h0w] + a * [h1x,h1y,h1z,h1w] + b * [h2x,h2y,h2z,h2w] + c * [h3x,h3y,h3z,h3w]

除非线与超平面平行，否则有4个方程（每个维度x，y，z，w一个）和4个未知数（a，b，c，t）可以解决。

上面的想法受 4D （其中w组件代表一个独立的维度）的分析几何学的影响，它们不应与齐次坐标混合（w组件用于将平移/投影集成到 4D 矩阵中，并通过透视分割在图形管道的末尾附近被丢弃。