在Python中编写无限和（具有整数的函数）

Question

我需要证明：

令人讨厌的是c_i等于函数G的积分。这是我的尝试。

import numpy as np
from scipy.integrate import quad

def G(x,n):
    P = (np.sqrt(735))*(np.sqrt(2))*np.sin(n*np.pi*x)*((x**3.0) - (11.0/7.0)*(x**2.0) + (4.0/7.0)*(x))
    return P

def Sum(x, n):
    i = 1
    S = 0
    I, err = quad(G, 0, 1, args=(i))
    while (i<n):
        S = S + I
        i = i + 1
    return S
x = np.linspace(0, 1, 250)    
print Sum(x, 200)

我遇到的问题是编写求和部分。当我运行这个时，我得到一个更大的数字，我给它的值越多。 如果选择n非常高（而不是无穷大），则可以显示总和趋于1

Answer 1

这个问题有很多教育价值。

正如@alko所指出的，这个问题可以通过分析解决。如果目的是证明总和等于1，那么它应分析完成。

也许，这只是一个需要完成的事情的简单版本，实际问题无法通过分析解决。在这种情况下，解决诸如此问题之类的简单问题是很好的第一步。不幸的是，每当我们用数字解决问题时，我们就会引入新的问题。

让我们按照问题和@alko给出的更正进行处理。

import numpy as np
import scipy.integrate as integ

def g(x) :
    return np.sqrt(1470) * (x**3-11./7*x**2+4./7*x)

def G(x,n) :
    return np.sin(n*np.pi*x) * g(x)

def do_integral (N) :
    res = np.zeros(N)
    err = np.zeros(N)
    for n in xrange(1,N) :
        (res[n],err[n]) = integ.quad(G, 0, 1, args=(n,))
    return (res,err)

(c,err) = do_integral(500)
S = np.cumsum(c[1:]**2) # skip n=0

（我定义两个“G”功能的原因将在下面显示。）

一旦运行，数组S将包含所需的和作为n的函数。它应该是一个。现在，当我们在ipython中运行它时，它会有点慢，我们第一次会得到一些长警告消息，但代码似乎会运行。此外，如果我们再次运行它（在同一个ipython会话中），我们将不会收到警告消息，所以我们可以忽略它，对吧？ 错误但我们无论如何都会忽略它，因为这样做很常见。

如果我们看一下S它似乎正在展示我们想要的东西，直到事情开始出错的S[200]，价值开始增长！电脑有什么问题？！没什么，我们忽略了问题的另一个指标。 quad()返回错误估计值以及积分估计值。我们通常忽略错误估计但不应该。如果我们绘制S和误差值，我们会发现以下内容。

所以我们看到是的，S的值非常错误，但是quad()也告诉我们这会发生！事实上，我们忽略的警告也告诉了我们同样的事情。

我们如何理解并修复它？在这一点上，我将停止讲故事。如果盯着G(x,n)并不清楚，那么在整合范围内为大n绘制该函数会很好。我们会发现它是一个疯狂的振荡功能，因此很难以数字方式集成。必须有更好的方法。

当然有更好的方法。如果我们查看quad()的文档并运行quad_explain()，我们就可以了解权重函数。正弦是一种常见的权重函数，它出现在积分中，所以有一些特殊的技巧来处理这种情况。因此，更好的方法如下（现在我们看到为什么我定义了g(x)：

def do_integral_weighted (N) :
    res = np.zeros(N)
    err = np.zeros(N)
    for n in xrange(1,N) :
        (res[n],err[n]) = integ.quad(g, 0, 1, weight='sin', wvar=n*np.pi)
    return (res,err)

(cw,errw) = do_integral_weighted(500)
Sw = np.cumsum(cw[1:]**2) # skip n=0

如图所示，我们发现运行速度更快，更准确 因此，我们得到一个稳定的答案，没有打印警告，以及一个微小的集成错误。

我们从解决这个问题中学到了一些东西

1. 分析可以解决的问题应该通过分析解决。
2. 数学表达式的数值实现往往不像我们希望的那样直截了当。
3. 不要忽略警告，也不要忽略我们正在使用的例程提供的错误信息。
4. 数值技术与分析技术不同。 numpy / scipy提供了非常强大的工具。我们需要探索这些工具以充分利用它们的力量。

Answer 2

你的总结是错误的。在循环内移动quad，并以这种方式评估平方和（而不是当前评估的总和（c_i））：

def Sum(x, n):
    S = 0
    for i in range(n):
        I, _err = quad(G, 0, 1, args=(i))
        S = S + I**2
    return S

顺便问一下，你怎么能显示这个数额的限制等于1？它只能通过一些数学计算来显示，而不能通过计算来显示。你可以说明一下。