Question

我试图在python中对复杂对称矩阵进行对角化。

我看过numpy和scipy linalg例程，但它们似乎都处理了Hermitian或真正的对称矩阵。

我正在寻找的是获得我的起始复杂和对称矩阵的Takagi因子分解的一些方法。这基本上是标准的特征分解 S = V D V ^ -1但是，由于起始矩阵S是对称的，所得到的V矩阵应该自动正交，即V.T = V ^ -1。

任何帮助？

由于

Answer 1

这是一些用于计算Takagi分解的代码。它使用Hermitian矩阵的特征值分解。不旨在高效，容错，数值稳定，并且保证所有可能的矩阵都是正确的。设计用于该因式分解的算法是优选的，特别是如果需要考虑大的矩阵。即便如此，如果你只需要考虑一些矩阵并继续你的生活，那么使用这样的数学技巧会很有用。

import numpy as np
import scipy.linalg as la

def takagi(A) :
    """Extremely simple and inefficient Takagi factorization of a 
    symmetric, complex matrix A.  Here we take this to mean A = U D U^T
    where D is a real, diagonal matrix and U is a unitary matrix.  There
    is no guarantee that it will always work. """
    # Construct a Hermitian matrix.
    H = np.dot(A.T.conj(),A)
    # Calculate the eigenvalue decomposition of the Hermitian matrix.
    # The diagonal matrix in the Takagi factorization is the square
    # root of the eigenvalues of this matrix.
    (lam, u) = la.eigh(H)
    # The "almost" Takagi factorization.  There is a conjugate here
    # so the final form is as given in the doc string.
    T = np.dot(u.T, np.dot(A,u)).conj()
    # T is diagonal but not real.  That is easy to fix by a
    # simple transformation which removes the complex phases
    # from the resulting diagonal matrix.
    c = np.diag(np.exp(-1j*np.angle(np.diag(T))/2))
    U = np.dot(u,c)
    # Now A = np.dot(U, np.dot(np.diag(np.sqrt(lam)),U.T))
    return (np.sqrt(lam), U)

为了理解算法，可以方便地写出每个步骤，看看它如何导致所需的因子分解。如果需要，可以使代码更有效。

python中的复对称矩阵

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