在有向图中找到最小平均权重的周期

Question

我正在寻找一种算法，该算法采用有向加权图（具有正整数权重），并在图中找到具有最小平均权重（与总权重相对）的周期。

基于类似的问题（但总重量），我考虑应用Floyd-Warshall算法的修改，但它将依赖于以下属性，不持有（谢谢Ron提供反例的出纳员表示：“对于顶点U，V，W，如果有路径p1，p2从U到V，路径p3，p4从V到W，那么这些路径的最佳组合得到从U到W是p1更好，p2后跟p3，p4越好。“

我认为哪些其他算法不依赖于此属性？

修改：在问题下方移动了以下不再相关的段落。

  

虽然这个属性看起来很直观，但似乎并不适用于同样需要两条路径的情况。例如，如果p1具有总重量2和长度2，并且p2具有总重量3和长度3，则两者都不比另一个好。但是，如果p3和p4的总重量大于长度，则p2优于p1。在我想要的应用程序中，每个边的权重是正整数，所以这个属性是强制执行的，我想我可以假设，在平局的情况下，更长的路径更好。但是，我仍然无法证明这是有效的，所以我无法验证任何依赖它的算法的正确性。

Answer 1

  

“虽然这个属性看起来很直观，但它似乎并不存在   两条路径同样令人满意的情况。“

实际上，当你考虑2个参数（重量，长度）时，它在任何情况下都不成立，这里是一个例子，当P1本身的平均值小于P2时，有时可能更好（例如1）最终解决方案或更糟（示例2），取决于P3和P4。

示例1：

L(P1) = 9, W(P1) = 10
L(P2) = 1, W(P2) = 1
L(P3) = 1, W(P3) = 1
L(P4) = 1, W(P4) = 1

示例2：

L(P1) = 9, W(P1) = 10
L(P2) = 1, W(P2) = 1
L(P3) = 5, W(P3) = 10
L(P4) = 5, W(P4) = 10

这两个参数对您的目标函数有影响，无法在本地确定，因此任何修改的Floyd-Warshall算法都不起作用。

由于您只考虑循环，因此您可能需要考虑一种强制算法来验证图中每个循环的平均权重。您可以在多项式时间内完成，请参阅： Finding all cycles in graph

Answer 2

我可以推荐另一种算法。

让我们修复C.现在从所有权重中减去C.答案会如何改变？如果我们从所有权重中减去相同的数字，则每个周期的平均权重在相同的数字C上减少。现在让我们检查我们是否具有负平均权重的周期。负平均重量的条件等于负重量的条件。所以它足以检查我们是否有负重量的循环。我们可以使用Bellman-Ford algorithm来完成。如果我们有这样一个循环，那么答案就小于C.

现在我们可以通过二分搜索找到答案了。由此产生的复杂性将是O（VE log（MaxWeight））

Answer 3

您描述的问题称为最小平均周期问题，可以有效解决。此外，还有一些非常好的优化理论来检查您是否感兴趣（从标准参考AMO93开始）。