n选择2的复杂度是在Theta（n ^ 2）？

Question

我正在阅读Introduction to Algorithms 3rd Edition (Cormen and Rivest)并在第69页的“蛮力解决方案”中他们声明n选择2 = Theta（n ^ 2）。我认为它会在Theta（n！）中代替。为什么n选择2紧密绑定到n平方？谢谢！

Answer 1

n选择2是

  

n（n - 1）/ 2

这是

  

n ² / 2 + n / 2

我们可以看到n（n-1）/ 2 =Θ（n ² ），当n变为无穷大时，取其比率的极限：

  

lim _n→∞（n ² / 2 + n / 2）/ n ² = 1/2

由于这是有限的非零量，我们有n（n-1）/ 2 =Θ（n ² ）。

更一般地说：n为任何固定常数k选择k是Θ（n ^k ），因为它等于

  

N！ /（k！（n - k）！）= n（n-1）（n-2）...（n-k + 1）/ k！

这是n中具有非零前导系数的k次多项式。

希望这有帮助！