Question

我正在努力解决这个问题..

给定n个数字列表，我们希望找到最小和最小的数字列表中的数字。描述一种分而治之的算法来解决这个问题。假设对于整数k，n = 2 ^ k。使用算法的比较次数应该是即使在最坏的情况下也不会超过3n / 2 - 2。

我目前的解决方案是使用选择算法来获得中位数，然后将列表分成L1（包含小于或等于中位数的元素），R（中位数），L2（包含比中位数更大的所有元素）。这是对的吗？如果是这样，我接下来应该做什么？

Answer 1

请注意，中值选择算法使用Θ（n）比较，但这并不意味着它最多使用3n / 2 - 2比较。事实上，我认为它使用了更多，这可能会排除您的解决方案策略。

作为提示：将此问题视为为所有2 ^{k构建淘汰赛};每轮的获胜者（两个数字中较小的一个）前进到下一轮。需要多少次比较才能实现？接下来，请注意第二小数字必须“丢失”到最小数字。第二小数字也是“丢失”到最小数字的最小数字。鉴于此，您能否有效地找到第二小的数字？

希望这有帮助！

Answer 2

哦，我只是理解它（在Python中）：

def two_min(arr):
    n = len(arr)
    if n==2: # Oops, we don't consider this as comparison, right?
        if arr[0]<arr[1]:                   # Line 1
            return (arr[0], arr[1])
        else:
            return (arr[1], arr[0])
    (least_left, sec_least_left) = two_min(arr[0:n/2])
    (least_right, sec_least_right) = two_min(arr[n/2:])
    if least_left < least_right:            # Line 2
        least = least_left
        if least_right < sec_least_left:    # Line 3
            return (least, least_right)
        else:
            return (least, sec_least_left)
    else:
        least = least_right
        if least_left < sec_least_right:    # Line 4
            return (least, least_left)
        else:
            return (least, sec_least_right)

总计：

第1行：将进行确切的n/2比较

第2行：此处将进行n/4 + n/8 + ... + 1次比较

第3行和第4行：每次调用two_min时都会执行其中一个（除非使用两个元素调用它）。我们总共two_min次n-1次呼叫（因为有很多锦标赛），其中n/2被调用两个元素。因此，第3行和第4行有助于n/2 - 1比较

结合所有这些，我们有：

total_comparisons = n/2 + (n/4 + n/8 + ... + 1) + (n/2 - 1)
                  = (n - 1) + (n/2 - 1)
                  = 3n/2 - 2

使用分而治之的方法从给定列表中查找第二个最小的数字

2 个答案: