解决“没有连续数字的子集数”时的OverFlowError

Question

我正在尝试使用Python解决TalentBuddy中的问题

问题是：

  

给出一个数字N.打印到标准输出的总数   可以使用{1,2..N}集合形成的子集，但要确保   没有子集包含任何两个连续的整数。该   最终计数可能非常大，这就是您必须打印结果的原因   modulo 524287。

我已经完成了代码。除了测试6之外，所有测试都没问题。当测试提交OverFlowError作为我的函数的参数时，我得到了10000000。我不知道该怎么办才能解决这个错误

我的代码：

import math
def count_subsets(n):
    step1 = (1 / math.sqrt(5)) * (((1 + math.sqrt(5)) / 2) ** (n + 2))
    step2 = (1 / math.sqrt(5)) * (((1 - math.sqrt(5)) / 2) ** (n + 2))
    res = step1 - step2
    print int(res) % 524287

我想这会占用大量内存。在我在互联网上找到相同主题的数学公式后，我写了这个。
我想我的代码根本不是Pythonic。

如何做到这一点，“Pythonic”方式？如何解决OverFlowError？

编辑：在问题中，我给出了示例输入3，结果（输出）为5。

说明：5套是{}, {1}, {2}, {3}, {1,3}。

然而，在测试6中，我给出的问题是：

测试＃6的摘要

输入测试：

[10000000]

预期输出：

165366

您的输出：

Traceback (most recent call last):
  On line 4, in function count_subsets:
    step1 = (1 / math.sqrt(5)) * (((1 + math.sqrt(5)) / 2) ** (n + 2))
OverflowError: 

Answer 1

设f（N）为不包含连续数的子集数。有F（N-2）子集包含N和F（N-1）子集，不包含N.这给出了：

F(N) = F(N-1) + F(N-2).

F(0) = 1 (there's 1 subset of {}, namely {}).
F(1) = 2 (there's 2 subsets of {1}, namely {} and {1}).

这是斐波那契序列，尽管有非标准的起始条件。

正如您所发现的那样，使用黄金比率来计算这个公式。问题是，对于大N，您需要在浮点计算中获得越来越高的精确度。

进行计算的一个确切方法是使用迭代：

a_0 = 1
b_0 = 2
a_{n+1} = b_n
b_{n+1} = a_n + b_n

这个天真的版本很容易但很慢。

def subsets(n, modulo):
    a, b = 1, 2
    for _ in xrange(n):
        a, b = b, (a + b) % modulo
    return a

相反，标准技巧是将重复的重复应用写为矩阵幂：

( a_n ) = | 0 1 |^N  ( 1 )
( b_n ) = | 1 1 |  . ( 2 )

您可以通过重复平方来计算矩阵幂（使用模数-524287算术）。见Exponentiation by squaring。这是完整的代码：

def mul2x2(a, b, modulo):
    result = [[0, 0], [0, 0]]
    for i in xrange(2):
        for j in xrange(2):
            for k in xrange(2):
                result[i][j] += a[i][k] * b[k][j]
                result[i][j] %= modulo
    return result

def pow(m, n, modulo):
    result = [[1, 0], [0, 1]]
    while n:
        if n % 2: result = mul2x2(result, m, modulo)
        m = mul2x2(m, m, modulo)
        n //= 2
    return result

def subsets(n):
    m = pow([[0, 1], [1, 1]], n, 524287)
    return (m[0][0] + 2 * m[0][1]) % 524287

for i in xrange(1, 10):
    print i, subsets(i)
for i in xrange(1, 20):
    print i, subsets(10 ** i)

这可以为10到10 ^ 19的每个功率打印解决方案，它实际上是即时的（在我的笔记本电脑上实际为0.041秒）。