Question

假设我们有一个类似{1,2,3}的集合，那么只有一种方法可以选择3个连续的数字......它就是集合{1,2,3} ......

对于一组{1,2,3,4}，我们有3种方式：123 234 1234

（从技术上讲，这些是无序的数字集，但连续写它们有帮助）

f（5）; {1,2,3,4,5} - ＆gt; 8种方式：123 1234 1235 12345 234 2345 345 1345
f（6）; {1,2,3,4,5,6} - ＆gt; 20种方式：......
f（7）; {1,2,3,4,5,6,7} - ＆gt; 47种方式：......

因此，对于给定的N，我可以通过应用强力，并计算具有3个或更多连续数的所有这样的子集来得到答案。

这里我只是想找出一种模式，一种技术来获得给定N的所有这种子集的数量。

问题进一步推广到.....在一组大小N中发现m个连续数。

Answer 1

在这个问题和“某个地方连续至少有三个连续1的N位二进制数的数量之间存在一个双射”（如果在子集中排除，则双射数为0）如果包含在子集中则为1）。

这是一个众所周知的问题，如果您搜索number of n-digit binary strings with m consecutive 1s，那么搜索2^n - tribonacci(n+3)的搜索结果应该是Google的足够信息，第二次点击是Finding all n digit binary numbers with r adjacent digits as 1

或者你可以查看http://oeis.org/search?q=0%2C0%2C1%2C3%2C8%2C20%2C47（基于你在前几个术语中使用的强制执行） - 得到{{1}}的明确公式，请参阅here对于tribonacci数的显式公式。它还给出了递归关系。给出的类比是“在公平硬币的n个翻转中获得至少1次3头的概率（超过2 ^ n）”

我只能假设一般问题的答案是2 ^ n - F _m（n + m），其中F _m是m ^th n-step Fibonacci number（编辑：seem to be the case ）

Answer 2

这听起来像是我的作业，所以我会让你开始。 FoOne方法是考虑运行的最低和最高成员，L和H.如果设置大小为N且您的最小运行长度为M，那么对于L的每个可能位置P，您可以计算出多少个位置我有..... ....

Answer 3

不确定您的意思是否连续。如果没有，那么对于{1,2,3,4}，有4种可能性：{1,2,3} {2,3,4} {1,3,4} {1,2,3,4} < / p>

我认为你可以用N！/ 3来计算解决方案！哪个N！ = N *（N-1）（N-2） ... * 1.

Answer 4

使用一些python代码，我们可以调查一下：

y = set()

def cons(li, num):
    if len(li) < num:
        return
    if len(li) == num:
        y.add(tuple([i for i in li]))
    else:
        y.add(tuple([i for i in li]))
        cons(li[1:], num)
        cons(li[:-1], num)

这个解决方案会非常慢（实际上它的复杂程度是指数），但是尝试一些小的列表大小，我认为你应该能够选择这种模式。

Answer 5

快速回答：

Sequences(n) = (n-1)*(n-2) / 2

答案很长：

你可以通过归纳来做到这一点。首先，我将重新陈述问题，因为你的问题陈述不够明确。

规则1：对于所有连续数字组1..n其中n为2或更多
规则2：计算连续数m..m + q的子集S（n），其中q为2或更多

S（N = 3）

通过检查我们只找到一个 - 123

S（N = 4）

通过检查我们发现3！ - 123 234和1234

请注意，S（4）包含S（3），加上两个新的......都包括新数字4 ... hmm。

S（N = 5）

通过检查我们发现...... S（n = 4）以及345 2345和12345.这是3 + 3 =总共6个。

我认为这里形成了一种模式。让我们定义一个新函数T。

规则3：对于某些T，S（n）= S（n-1）+ T（n）......

我们知道S（n）包含数字n，并且现在应该发现S（n）还包含（作为子组件）所有包含数字n的长度为3到n的序列。我们知道它们不能在S（n-1）中，所以它们必须在T（n）中。

规则4：T（n）包含以n结尾的所有序列，长度为3到n。

S（n）中有多少个序列？

让我们回顾一下S（3）S（4）和S（5），并加入T（n）：

S（3）= S（3）
S（4）= S（3）+ T（4）
S（5）= S（4）+ T（5）= S（3）+ T（4）+ T（5）

让我们概括一下：

S（n）= S（3）+ T（f）。

那么在给定的T中有多少？

回顾第5条规则 - 它描述了多少个序列？

对于T（4），它描述了以4结尾的所有序列3和更长的序列（即234）

对于T（5），它描述了所有序列3和更长的结尾为5.（即345 2345 = 2）

T count Examples
4 2     1234 234
5 3     12345 2345 345
6 4     123456 23456 3456 456

看起来非常像T（n）只是n-2！

所以

S(6) = T(6) + T(5) + T(4) + S(3)
  10 = 4    + 3    + 2    + 1

和 S（7）= 15 = 5 + 4 + 3 + 2 + 1 S（8）= 21 = 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1

将其转换为公式

什么是2 * S（8）？

42 = 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6

添加每对最大和最小数字：

42 = 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7

42 = 7 * 6

但那是2 * S（8），所以

S（8）= 42/2 = 21 = 7 * 6/2

这概括了：

S(n) = (n-1)*(n-2) / 2

让我们检查一下：

S(3) = 2*1/2 = 1
S(4) = 3*2/2 = 3
S(5) = 4*3/2 = 6
S(6) = 5*4/2 = 10

我很满意。

包含至少3个连续元素的{1,2,3，...，N}的子集数

5 个答案: