求解具有n个变量的线性n方程的算法

Question

在编写一个算法时，我陷入了困境。请帮我解决。

我需要解决线性方程。请参见下图。

我使用的是因为我不知道如何写矩阵。

请建议我算法计算所有变量的值。寻找你的回应。

Answer 1

如果你的矩阵总是与问题中给出的形式相同（即除了沿对角线的-1之外的所有矩阵），那么你可以在时间O（n）求解它，其中n是方程的数量。 / p>

设N是方程的数量。

然后解决方案由：

t = (a+b+c)/(N-2)
x = (t-a)*0.5
y = (t-b)*0.5
z = (t-c)*0.5

Python代码：

# Set up equations
a=4
b=5
c=6
A = a,b,c

# Compute inverse
t = sum(A)/(len(A)-2.)
B = [(t-x)*0.5 for x in A]

# Check
x,y,z = B
print -x+y+z
print x-y+z
print x+y-z

我通过以下方式推导出这个公式：

1. 将所有方程式加在一起得到（N-2）（x + y + z）=（a + b + c）其中N是方程式数
2. 将每个等式编写为，例如，-x + y + z = x + y + z - 2x =（a + b + c）/（N-2） - 2x = a
3. 使用x
的值求解此等式

Answer 2

看看你的例子，你看起来像是在尝试将所有1的n乘n矩阵反转，除了对角线你有-1的。我们称这个矩阵为D_n。

鉴于这种对称性，反向将是相似的：所有的a，除了在对角线上你将有b（a和b被找到）。

将D_n与逆相乘给出了两个需要满足的方程（对应于对角线上产品中的条目，以及对角线上的条目）。

-b + (n-1) * a = 1
b + (n-3) * a = 0

解决给了我们：

a = 1/(2n - 4)
b = (3-n)/(2n - 4)

例如，当n = 3时，你有一个= 1/2，b = 0，所以逆，inv（D_3），

0   0.5 0.5
0.5 0   0.5
0.5 0.5 0

或者当n = 4时，你有a = 1/4，b = -1 / 4，所以逆，inv（D_4），

-0.2500    0.2500    0.2500    0.2500
 0.2500   -0.2500    0.2500    0.2500
 0.2500    0.2500   -0.2500    0.2500
 0.2500    0.2500    0.2500   -0.2500

现在，您正在尝试找到x_1，x_2，...，x_n（调用此向量x），使得D_n * x =（a_1，a_2，...，a_n）。

鉴于我们已经弄清楚如何计算inv（D_n），解决方案是：

x_j = (3 - n)a_j / (2n - 4) + sum(i=1..n, i != j) (a_n / (2n - 4))