Strassen的算法证明

Question

我一直在阅读有关矩阵乘法的Strassen算法。

如Cormen的算法简介中所述，算法并不直观。但是我很想知道算法是否存在严格的数学证明以及算法设计的实际内容。

我尝试在Google和stackoverflow上搜索，但所有链接仅用于比较Strassen的标准矩阵乘法方法或他们详细说明算法提供的过程。

Answer 1

您应该转到源材料。在这种情况下，Strassen的原始论文：

Strassen，Volker，Gaussian Elimination不是最优，Numer。数学。 13，p。 354-356,1969

http://link.springer.com/article/10.1007%2FBF02165411?LI=true

即使我自己没有阅读，我也会认为有严格的讨论和证明算法的复杂性。

看起来斯特拉森教授仍然活跃（http://en.wikipedia.org/wiki/Volker_Strassen）并且有一个主页（http://www.math.uni-konstanz.de/~strassen/）。如果在尽可能多地了解算法之后，你仍然有兴趣了解更多信息，我不认为向教授发送措辞谨慎的电子邮件是不可能的。

不幸的是，尽管这项工作是在公立大学（加州大学伯克利分校）使用联邦基金（NSF资助）完成的，但似乎没有免费的在线论文，但这是一个完全独立的问题。我们不应该在这里讨论。

如果您是学生，您可能可以通过学校访问，或者至少您的学校可以免费为您提供一份副本。祝你好运。

Answer 2

斯特拉森算法应该存在的证据是一个简单的维度计数（结合了天真维度计数给出正确答案的证明）。考虑矢量 所有双线性的空间 地图$C^n\times C^n \rightarrow C^n$，这是维度$n^3$的向量空间（在矩阵乘法的情况下，我们有$n=m^2$，例如$n=4$ $2\times 2$的{​​{1}} 。双线性的集合 等级为1的地图，即在仅使用一个标量乘法的算法中可计算的地图，具有维度$3(n-1)+1$和等级的双线性映射集合 对于$r$的大多数值，大多数$r[3(n-1)]+r$的维度为$n^3$和$n,r$的最小值（并且可以检查 $r=7,n=4$时这是正确的。因此任何双线性映射$C^4\times C^4\rightarrow C^4$， 概率为1的排名最多为$7$，并且可能总是近似为任意 精度最高为$7$的双线性映射。