每次以固定常数增长动态阵列的效率？

Question

因此，当每次添加元素时动态数组的大小加倍时，我理解扩展的时间复杂度是O（n）n是元素。如果将数组复制并移动到一个只有1个大小的新数组呢？ （而不是加倍）当我们调整一些常数C时，时间复杂度总是为O（n）？

Answer 1

如果你增长一些固定常数C，那么不，运行时不会是O（n）。相反，它将是Θ（n ² ）。

要看到这一点，请考虑如果执行一系列C连续操作会发生什么。在这些操作中，C-1将占用时间O（1），因为空间已经存在。最后一个操作需要花费时间O（n），因为它需要重新分配数组，添加空间并复制所有内容。因此，任何C操作序列都需要时间O（n + c）。

现在考虑如果执行n个操作序列会发生什么。将这些操作分解为大小为C的块;会有他们的n / C.执行这些操作所需的总工作量为

  

（c + c）+（2c + c）+（3c + c）+ ... +（n + c）

     

= cn / c +（c + 2c + 3c + ... + nc / c）

     

= n + c（1 + 2 + 3 + ... + n / c）

     

= n + c (n/c)(n/c + 1)/2

     

= n + n（n / c + 1）/ 2

     

= n + n ² / c + n / 2

     

=Θ（n ² ）

将此与数学结果进行对比，以便在需要更多空间时将数组大小加倍：完成的总工作量为

  

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ... + n

     

= 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2 ^{log n}

     

= 2 ^{log n + 1} - 1

     

= 2n - 1

     

=Θ（n）

---

^{移植自SO文档。}

2 - 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ......

的幂和

总和

  

2 ⁰ +2 ¹ +2 ² + ... + 2 ^n-1

简化为2 ⁿ - 1.这解释了为什么可以存储在无符号32位整数中的最大值是2 ³² - 1.