Question

如何找到最小正数K，使得对于数组中的每个项目，从[-K，K]中添加或减去数字可以导致严格上升的数组？

例如：

数组是[10,2,20]
min K为5，可能的结果为[10-5,2 + 4,20]
k = 4不行，因为10-4 == 2 + 4;数组不能转换为严格升序

我的猜测如下

定义f（i，j）= a [i] - a [j] + ji-1（要求i＆lt; j和a [i]＆gt; a [j]：所有逆序对）

最小K必须满足条件：

2 * K＆gt; max f（i，j）

因为如果一对（i，j）不是按升序排列，则[j]最多只能加K，a [i]最多可以减去K，并且你需要在[a]之间留出空间i]和a [j]（因为它是严格的升序），所以（a [j] + K） - （a [i] - K）应大于（j-i-1）（它们之间的长度）。

所以 k> = max f（i，j）/ 2 + 1

问题是我不能证明k = max f（i，j）/ 2 + 1是否可以？

更多线索：

我已经考虑过找一个算法来确定给定的K是否足够，然后我们可以使用该算法从可能的最小值开始尝试每个K，以找到解决方案。

我想出一个像这样的算法：

for i in n->1  # n is array length
if i == n:
    add K to a[i]   # add the max to the last item won't affect order
else:
    # the method is try to make a[i] as big as possible and still < a[i+1]
    find a num k1 in [-K, K] to make a[i] to bottom closest to a[i+1]-1
    if found:
        add k1 to a[i]
    else no k1 in [-K, K] can make a[i] < a[i+1]
        return false
return true

我也是这样的算法是对还是

Answer 1

我认为你的猜测是正确的，但我不能证明这一点:-)相反，我会先简化你的问题

如何找到最小正数K，使得对于数组中的每个项目，在[-K，K]中添加或减去数字会导致严格升序的数组？

通过“添加”K来

到这个等价的：

如何找到最小正数2 * K，以便对于数组中的每个项目，从[0,2 * K]添加数字可以导致严格升序的数组？

我们可以通过迭代数组并跟踪所需的2K值来轻松解决这个问题，以满足条件。它与@ ruakh的相似，但没有减法：

k2 = 0
last = arr[0]
for each cur in arr from 1
    if cur + k2 <= last
        last ++
        k2 = last - cur
    else
        last = cur
k = ceil ( k2 / 2 )

Answer 2

我认为你有点过分思考。您可以迭代数组的元素，跟踪 K 的当前最小可能值，以及给定的值的最后看到的元素的当前最小可能值>ķ。每当您发现一个证明 K 太小的元素时，您可以相应地增加它。

例如，在Java中：

int[] array = { 10, 2, 20 };
int K = 0, last = array[0];
for (int i = 1; i < array.length; ++i) {
    if (last >= array[i] + K) {
        // If we're here, then our value for K wasn't enough: the minimum
        // possible value of the previous element after transformation is still
        // not less than the maximum possible value of the current element after
        // transformation; so, we need to increase K, allowing us to decrease
        // the former and increase the latter.
        int correction = (last - (array[i] + K)) / 2 + 1;
        K += correction;
        last -= correction;
        ++last;
    } else {
        // If we're here, then our value for K was fine, and we just need to
        // record the minimum possible value of the current value after
        // transformation. (It has to be greater than the minimum possible value
        // of the previous element, and it has to be within the K-bound.)
        if (last < array[i] - K) {
            last = array[i] - K;
        } else {
            ++last;
        }
    }
}

如何找到数组的最小正数K以使数组严格按升序排列

2 个答案: